El monte rushmore: para medir la altura de la cara de Lincoln en el monte rushmore, se toman dos lecturas desde una distancia de 800 pies de la base, si el angulo de elevación a la base de la cara es de 32° y el angulo a la parte superior es de 35°, ¿ cual es la altura de la cara?
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1 . Altura del edificio
alfa = 40º
beta = 32º
D = 50 pies
cada punto de observación el extremo del edificio y su base forman triángulos rectángulos donde
la altura de edificio (H) es el cateto opuesto al ángulo de elevación
a y b son los catetos adyacentes
tan(alfa) = H/a
tan(beta) = H/b
despajando a y b de las ecuaciones
a = H /tan(alfa)
b = H / tan(beta)
además
b = a + D
reemplazando
H / tan(beta) = H /tan(alfa) + D
H / tan(beta) - H /tan(alfa) = D
D = H*( 1 /tan(beta) - 1/ tan(alfa))
despejando H
H = D / ( 1 /tan(beta) - 1/ tan(alfa))
reemplazando por los valores
H = 50 pies /( 1 /tan(32º) - 1/ tan(40º)) = 122,37 pies
2 . Monte Rushmore
En este caso cada ángulo de observación corresponde a un punto distinto de la cara
alfa = 35º
beta = 32º
D = 800 pies
En este caso cada ángulo de observación corresponde a un punto distinto de la cara
El punto de observación, cada punto de la cara y la base forman triángulos rectángulos donde
a y b son los puntos de la cara es el cateto opuesto al ángulo de elevación
D la distancia al pie del monto es el cateto adyacente
tan(alfa) = a/D
tan(beta) = b/D
despajando a y b de las ecuaciones
a = D*tan(alfa)
b = D*tan(beta)
altura de la cara (h) = b - a = D*tan(alfa) - D*tan(beta)
= D*(tan(alfa) -tan(beta))
reemplazando por los valores
h = 800 pies*( tan(35º) - tan(32º)) = 60,27 pies <--------------- altura de la cara
3. Altura del helicóptero
alfa = 40º
beta = 25º
D = 100 pies
cada punto de observación el extremo del helicóptero y su base forman triángulos rectángulos donde
la altura del helicóptero (H) es el cateto opuesto al ángulo de elevación
a y b son los catetos adyacentes
tan(alfa) = H/a
tan(beta) = H/b
despajando a y b de las ecuaciones
a = H /tan(alfa)
b = H / tan(beta)
además
D = a+ b (el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une)
reemplazando
D = H / tan(beta) + H /tan(alfa)
D = H * (1/ tan(beta) + 1 /tan(alfa) )
despejando H
H = D / (1/ tan(beta) + 1 /tan(alfa))
reemplazando por los valores
H = 100 pies /( 1 /tan(25º) + 1/ tan(40º)) = 29,97 pies
alfa = 40º
beta = 32º
D = 50 pies
cada punto de observación el extremo del edificio y su base forman triángulos rectángulos donde
la altura de edificio (H) es el cateto opuesto al ángulo de elevación
a y b son los catetos adyacentes
tan(alfa) = H/a
tan(beta) = H/b
despajando a y b de las ecuaciones
a = H /tan(alfa)
b = H / tan(beta)
además
b = a + D
reemplazando
H / tan(beta) = H /tan(alfa) + D
H / tan(beta) - H /tan(alfa) = D
D = H*( 1 /tan(beta) - 1/ tan(alfa))
despejando H
H = D / ( 1 /tan(beta) - 1/ tan(alfa))
reemplazando por los valores
H = 50 pies /( 1 /tan(32º) - 1/ tan(40º)) = 122,37 pies
2 . Monte Rushmore
En este caso cada ángulo de observación corresponde a un punto distinto de la cara
alfa = 35º
beta = 32º
D = 800 pies
En este caso cada ángulo de observación corresponde a un punto distinto de la cara
El punto de observación, cada punto de la cara y la base forman triángulos rectángulos donde
a y b son los puntos de la cara es el cateto opuesto al ángulo de elevación
D la distancia al pie del monto es el cateto adyacente
tan(alfa) = a/D
tan(beta) = b/D
despajando a y b de las ecuaciones
a = D*tan(alfa)
b = D*tan(beta)
altura de la cara (h) = b - a = D*tan(alfa) - D*tan(beta)
= D*(tan(alfa) -tan(beta))
reemplazando por los valores
h = 800 pies*( tan(35º) - tan(32º)) = 60,27 pies <--------------- altura de la cara
3. Altura del helicóptero
alfa = 40º
beta = 25º
D = 100 pies
cada punto de observación el extremo del helicóptero y su base forman triángulos rectángulos donde
la altura del helicóptero (H) es el cateto opuesto al ángulo de elevación
a y b son los catetos adyacentes
tan(alfa) = H/a
tan(beta) = H/b
despajando a y b de las ecuaciones
a = H /tan(alfa)
b = H / tan(beta)
además
D = a+ b (el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une)
reemplazando
D = H / tan(beta) + H /tan(alfa)
D = H * (1/ tan(beta) + 1 /tan(alfa) )
despejando H
H = D / (1/ tan(beta) + 1 /tan(alfa))
reemplazando por los valores
H = 100 pies /( 1 /tan(25º) + 1/ tan(40º)) = 29,97 pies
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