El modulo de A es 15 m y su Unitario es = 0.70i-0.53j+ck, con (angulo gama a menor a 90). Si B comienza en el punto P (2,0,5)m y termina en el punto R(0,-3,-5), determine:
A) en angulo entre los vectores A y B
B) el vector P proyeccion de B sobre A
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1
Lo primero que debemos hacer es encontrar las componentes del vector B, esto lo hacemos restando el vector R - P = (-2,-3,-10), ahora se puede calcular el angulo con el vector unitario de A (pues este tiene la misma dirección de A) o también se puede calcular A y luego calcular el angulo, lo haremos de la primera manera.
Sea Θ = el angulo entre A y B, entonces:
cos(Θ)=
donde |A| y |B| son el modulo de A y modulo de B respectivamente. Como mencionamos no usaremos A si no su vector unitario (por facilidad ya que el modulo es 1)
|B|= = 10.6301
El vector unitario de A se puede escribir como: (0.70, -0.53, c)
Como es unitario 1=
Elevando al cuadrado ambos lados:
1= 0.49+ 0.2809 + (c)^{2}⇒ (c)^{2}= 1-0.7709=0.2291
C=
Tomaremos C negativo para que se cumpla la condicion del angulo menor a 90
cos(Θ)=
= 0.468104
Por lo tanto Θ= arcocos(0.468104)= 62.08865992 °
Proyección entre dos vectores: Sea A y B dos vectores Entonces La proyeccion de B Sobre A=
Ademas sea U el vector unitario de A que ya conocemos
A=
A= U*|A|= 15*(0.70,-0.53,-0.4786)=(10.5,-7.95,-7.179)
Por lo tanto usaremos el vector U y asi no es necesario dividir entre la norma.
=
= = 0.33173333
Por ultimo para calcular el vector proyección P multiplicamos la proyeccion esalar por A
P = 0.33173333*(10.5,-7.95,-7.179)= (3.4831,-2.6372,-2.3815)
Sea Θ = el angulo entre A y B, entonces:
cos(Θ)=
donde |A| y |B| son el modulo de A y modulo de B respectivamente. Como mencionamos no usaremos A si no su vector unitario (por facilidad ya que el modulo es 1)
|B|= = 10.6301
El vector unitario de A se puede escribir como: (0.70, -0.53, c)
Como es unitario 1=
Elevando al cuadrado ambos lados:
1= 0.49+ 0.2809 + (c)^{2}⇒ (c)^{2}= 1-0.7709=0.2291
C=
Tomaremos C negativo para que se cumpla la condicion del angulo menor a 90
cos(Θ)=
= 0.468104
Por lo tanto Θ= arcocos(0.468104)= 62.08865992 °
Proyección entre dos vectores: Sea A y B dos vectores Entonces La proyeccion de B Sobre A=
Ademas sea U el vector unitario de A que ya conocemos
A=
A= U*|A|= 15*(0.70,-0.53,-0.4786)=(10.5,-7.95,-7.179)
Por lo tanto usaremos el vector U y asi no es necesario dividir entre la norma.
=
= = 0.33173333
Por ultimo para calcular el vector proyección P multiplicamos la proyeccion esalar por A
P = 0.33173333*(10.5,-7.95,-7.179)= (3.4831,-2.6372,-2.3815)
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