Question

. El modelo de crecimiento logístico: P(t) = 0.9/(1 6e^(-0.32t) ) relaciona la proporción de casas en Estados Unidos que tienen un reproductor de DVD hasta el año. Sea t = 0 el año 2004, t = 1 el año 2005, etc. ¿Qué proporción de casas en Estados Unidos poseen un reproductor DVD en 2004? Determine la proporción máxima de casas que tendrán un reproductor de DVD

Answer 1

La proporción de casa en los Estados Unidos que poseen DVD en 2004 es de P(0) = 12.9%

La proporción máxima de casa con DVD sera de p (15) = 85.8 %

Explicación paso a paso:

El modelo de crecimiento esta dado por la función :

p(x) = 0.9 / 1 - 6e⁻⁰'³²ˣ   , Donde x = t

Si queremos saber la proporción de casa que posee DVD en los Estados Unidos en el 2004, entonces, x = t = 0, evaluamos:

p(0) = 0.9 / 1 + 6e⁻⁰'³²⁽⁰⁾

p (0) = 0.9 / 1 + 6e⁻⁰

p (0) = 0.9 / 1 + 6(1)

p (0) = 0.9 / 7

p (0) = 0.129  en términos de proporción

p (0)= 0.129 * 100% ⇒ P(0) = 12.9%

Para obtener el valor de la proporción máxima

Evaluamos un valor alternante en la función por ejemplo t  =2 (2006) y t = 10 (2014)

p(2) = 0.9 / 1 + 6e⁻⁰'³²⁽²⁾  (100%)= 21.6%

p(10) = 0.9 / 1 + 6e⁻⁰'³²⁽¹⁰⁾  (100%)= 72.3%

Observamos que el crecimiento trascurrido los años, en la fecha actual se tendrá la proporción máxima 2019 ; t = 15

p(15) = 0.9 / 1 + 6e⁻⁰'³²⁽¹⁵⁾  (100%)

p (15) = 0.858 (100%)

p (15) = 85.8 %

Answer 2

Cuando  t  crece mucho, tiende a infinito, se tiene que la proporción máxima de casas que tendrán un reproductor de DVD tiende a estabilizarse en el valor 0.90.  

Explicación:  

P(t) es la proporción de casas en Estados Unidos que tienen un reproductor de DVD hasta el año t. Su comportamiento es el de un modelo de crecimiento logístico, con un crecimiento sigmoide y con tendencia a la estabilización asintótica a un valor denominado capacidad de carga. El modelo matemático se expresa por la función:  

$\bold {P_{(t)} = \frac {0.9} {1+6\cdot e^{-0.32 t}}}$  

Basado en el modelo anterior, respondamos las interrogantes formuladas:

1. ¿Qué proporción de casas en Estados Unidos poseen un reproductor DVD en 2004?

Se pide el valor inicial de P, ya que se nos dice que el año 2004 es el punto inicial de la cronología. Por tanto, para responder la interrogante evaluamos el modelo cuando  t  =  0:

$P_{(0)}=\frac{0.9}{1+6\cdot e^{-0.32(0)}} \qquad \Rightarrow \qquad P_{(0)}=\frac{0.9}{7} \approx 0.13$  

La proporción de casas en Estados Unidos que poseían un reproductor DVD en 2004 era aproximadamente el  0.13,  o el  13%.

2. Determine la proporción máxima de casas que tendrán un reproductor de DVD.  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de P.  

$P’_{(t)} = \frac {1.728\cdot e^{-0.32 t}}{[1+6\cdot e^{-0.32 t}]^2}$  

$P'=0 \quad \Rightarrow \quad \frac {1.728\cdot e^{-0.32 t}}{[1+6\cdot e^{-0.32 t}]^2}=0\quad \Rightarrow$  

$\bold{t~\rightarrow~+\infinit}$  

La función P no tiene puntos críticos, lo cual implica que no tiene extremos. Se dice que tiende a estabilizarse en un valor máximo, llamado capacidad de carga, cuando el tiempo crece indefinidamente.  

La capacidad de carga o proporción máxima de casas que tendrán un reproductor de DVD se obtiene estudiando el comportamiento de la función P cuando  t  crece indefinidamente. Si sucede esto último, la exponencial del denominador tiende a cero y por ende, el denominador va a tender al valor 1.  

Por tanto, la proporción máxima de casas que tendrán un reproductor de DVD se aproximará a  0.90  o  90%.