Question

el metodo de reduccion es igual que el de suma y resta si o no por q

Answer 1

Objetivos de aprendizaje

·         Resolver un sistema de ecuaciones cuando no es necesaria la multiplicación para eliminar una variable.

·         Resolver un sistema de ecuaciones cuando es necesaria la multiplicación para eliminar una variable.

·         Reconocer sistemas que no tienen solución o que tienen un número infinito de soluciones.

·         Resolver problemas de aplicación usando el método de eliminación.

 

Introducción

El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales usa la propiedad de la igualdad de la suma. Puedes sumar el mismo valor a cada lado de la ecuación.

 

Entonces si tienes un sistema: x – 6 = −6 y x + y = 8, puedes sumar x + y al lado izquierdo de la primera ecuación y suma 8 a la derecha de la ecuación. Y como x + y = 8, estas sumando el mismo valor a cada lado de la primera ecuación.

 

Usando la suma para eliminar una variable

Si sumas las dos ecuaciones, x – y = −6 y x + y = 8 como explicamos arriba, observa lo que pasa.

 

 

Has eliminado el término y y esta ecuación puede resolverse usando los métodos para resolver ecuaciones con una variable.

 

Veamos cómo se resuelve este sistema usando el método de eliminación.

 

 

EjemploProblemaUsa eliminación para resolver el sistema.   x – y = −6x + y = 8  Suma las ecuaciones. 2x = 2x = 1Resuelve x. x + y = 81 + y = 8y = 8 – 1y = 7Sustituye x = 1 en una de las ecuaciones originales y resuelve y. x – y = −61 – 7 = −6−6 = −6 VÁLIDOx + y = 81 + 7 = 88 = 8 VÁLIDO¡Asegúrate de comprobar tu respuesta en ambas ecuaciones!  Los resultados son correctos.RespuestaLa solución es (1, 7). 

 

 

Desafortunadamente no todos los sistemas resultan tan fáciles. Por ejemplo, un sistema como 2x + y = 12 y −3x + y = 2. Si usamos estas ecuaciones, no se elimina ninguna variable.

 

 

Pero quieres eliminar una variable. Por lo que sumas el opuesto de una de las ecuaciones con la otra ecuación.

 

 2x + y =12      →        2x + y = 12      →       2x + y = 12

           −3x + y = 2      →      − (−3x + y) = −(2)   →  3x – y = −2

                                                                                    5x + 0y = 10

 

Has eliminado la variable y, y ahora el problema puede resolverse. Veamos el ejemplo siguiente.

 

 

EjemploProblemaUsa eliminación para resolver el sistema.2x + y = 12                                −3x + y =  2  2x + y = 12            −3x + y =  2Puedes eliminar la variable y si sumas el opuesto de una de las ecuaciones a la otra ecuación.  2x + y = 12            3x – y =  −25x = 10Reescribe la segunda ecuación como su opuesto.Suma. x = 2Resuelve x. 2(2) + y = 124 + y = 12y = 8Sustituye y = 2 en una de las ecuaciones originales y resuelve y. 2x + y = 122(2) + 8 = 124 + 8 = 1212 = 12             VÁLIDO−3x + y =  2−3(2) + 8 = 2−6 + 8 = 22 = 2 VÁLIDO¡Asegúrate de comprobar tu respuesta en ambas ecuaciones!   Los resultados son correctos.RespuestaLa solución es (2, 8). 

 

 

Los siguientes son dos ejemplos mostrando cómo resolver un sistema lineal de ecuaciones usando eliminación.

 

 

EjemploProblemaUsa eliminación para resolver el sistema.−2x  + 3y = −1   2x  + 5y = 25   −2x+3y=−1   2x+5y=25 Observa los coeficientes de cada variable en la ecuación. Si sumas estas dos ecuaciones, el término x será eliminado porque −2x+ 2x = 0.   −2x+3y=−1   2x+5y=25     8y=24     y=3 Suma y resuelve y. 2x + 5y = 252x + 5(3) = 252x + 15 = 252x = 10x = 5Sustituye y = 3 en una de las ecuaciones originales. −2x + 3y = −1−2(5) + 3(3) = −1−10 + 9 = −1−1 = −1 VÁLIDO2x + 5y = 252(5) + 5(3) = 2510 + 15 = 2525 = 25 VÁLIDOComprueba las soluciones.    Los resultados son correctos.RespuestaLa solución es (5, 3). 

 

 

EjemploProblemaUsa eliminación para resolver x y y.4x  + 2y = 145x  + 2y = 16    4x+2y=14   5x+2y=16 Observa los coeficientes de cada variable en cada ecuación. Necesitarás sumar el opuesto de una de las ecuaciones para eliminar la variable y, porque 2y + 2y = 4y, pero2y + (−2y) = 0. 4x+2y=14 −5x–2y=−16 −x  =−2   x=2  Cambia una de las ecuaciones por su opuesto, suma y resuelve x.  4x + 2y = 144(2) + 2y = 148 + 2y = 142y = 6y = 3Sustituye x = 2 en una de las ecuaciones originales y resuelve y.RespuestaLa solución es (2, 3). 

 

 

Comprueba el último ejemplo — sustituye (2, 3) en ambas ecuaciones. Obtienes dos enunciados válidos: 14 = 14 y 16 = 16!

 

Observa que pudiste haber usado el opuesto de la primera ecuación en lugar del de la segunda ecuación y obtenido el mismo resultado