Question

El método de Euler cuando se aplica a sistemas de ecuaciones diferenciales viene dado por:

$y_{k+1} = y_k + hf(x_k,y_k),\forall{k} = 0,1,...,n$

Tomando el sistema de ecuaciones diferenciales:

$\left \{ {{y'\:=\:z,\:\:\:\:\:\:\:y(0)\:=\:1} \atop {z'\:=\:y\:+\:e^x,\:\:\:\:\:\:\:z(0)\:=\:0}} \right.$

Para $x \in [0; 0,2]$ utilizando $h = 0,1$.

Teniendo en cuenta el texto antes mencionado y los conceptos del método de Euler, analice las siguientes afirmaciones:

I. Una aproximación numérica de la solución del sistema es $y(0,2) \approx 1,02$ y $z(0,2) \approx 0,4105$.

II. Una aproximación numérica de la solución del sistema es $y(0,2) \approx 3,22$ y $z(0,2) \approx 0,5002$.

III. Una aproximación numérica de la solución del sistema es $y(0,2) \approx 2,57$ y $z(0,2) \approx 1,2366$.

IV. Una aproximación numérica de la solución del sistema es $y(0,2) \approx 1,04$ y $z(0,2) \approx 0,5123$.

Lo que se dice es correcto, en:

Alternativa 1:
I.

Alternativa 2:
I y II.

Alternativa 3:
III y IV.

Alternativa 4:
I, III y IV.

Alternativa 5:
I, II, III y IV.

Answer 1

Las ecuaciones del método están explicadas en la introducción del ejercicio, basta con ponerlas en práctica para los pasos k hasta llegar a x=0.2.

Paso k=0

x₀ = 0

y₀ = 1

z₀ = 0

Paso k =1

x₁ = x₀ + hk = 0 + 0.1(1) = 0.1

y₁ = y₀ +  h(z₀) = 1 + 0.1(0) = 1

z₁ = z₀ + h(y₀ + e⁰) = 0 + 0.1(1 + 1 ) = 0.2

Paso k =2

x₂ = x₀+ hk = 0 + 0.1(2) = 0.2

y₂= y₁ +  h(z₁) = 1 + 0.1(0.2) = 1.02

z₂ = z₁ + h(y₁ + e^(0.1)) = 0.2 + 0.1(1 + 1.10517 ) = 0.4105

Concluimos entonces que una aproximación numérica de la solución del sistema es y(0.2) = 1.02  y z(0.2) = 0.4105  (ALTERNATIVA I)