Question

El mayor número de 3 cifras del sistema de base "n" se escribe en el sistema senario cómo 2211. Hallar "n"

Answer 1

El mayor número de 3 cifras del sistema de base "n" se escribe en el sistema senario como 2211. Hallar "n"

Resolución:

Sabiendo que, la máxima cifra de un número en cualquier base, es la diferencia de la base y 1. Representaremos:

• Mayor número de 3 cifras en base "n" = $(n-1)(n-1)(n-1)_{(n)}$
• 2211 en sistema senario = $2211_{6}$

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• Descomposición polinómica: Para descomponer un número en base "n" a base 10, sumamos los productos de,  la primera cifra , por n elevado al exponente que será la cantidad de números que hay después de esta cifra. Después lo sumamos con el producto de la segunda cifra, por n elevado a la cantidad de cifras que hay después de la esta cifra y así a todas.

Ejemplo:

$xyz_{(n)}= x(n^{2}) + y(n) + z$

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Los igualamos y a ambos los pasaremos a base 10, aplicando la descomposición polinómica:

               $(n-1)(n-1)(n-1)_{(n)} = 2211_{(6)}$

$(n-1)(n^{2} )+(n-1)(n)+(n-1)= 2(6)^ {3} +2(6)^{2} +1(6) + 1$

           $n^{3} -n^{2} + (n^{2}-n)+n-1= 2(216) + 2(36) + 6 + 1$

                                           $n^{3} -1= 432 + 72 + 6 + 1$

                                           $n^{3} -1=511$

                                                 $n^{3} =512$

                                                  $n=\sqrt[3]{512}$

                                                  $\boxed{\bf{n=8}}$