Question

el máximo valor que alcanza la función f(x)=9+6x-3x²​

Answer 1

La función es cuadrática, por lo que sólo tendrá un máximo o un mínimo.

Para confirmar esto, veamos el signo del coeficiente x², si es positivo, abre hacia arriba, por lo que tiene un mínimo, sí es negativo, abre hacia abajo, por lo que tiene un máximo.

Desde aquí ya confirmamos que encontraremos el máximo.

Ahora, para encontrar el valor, podemos hacerlo al completar el trinomio, tenemos:

$f(x) = - 3x^{2} + 6x + 9$

Sacas factor común:

$f(x) = - 3(x^{2} - 2x - 3)$

Completas el trinomio:

$f(x) = - 3[(x^{2} - 2x + 1) - 4]$

$f(x) = - 3[(x - 1)^{2} - 4]$

$f(x) = - 3(x-1)² + 12$

Ahora, esto es la forma canónica de la parábola, la cual es:

$\boxed{\bf{f(x) = a(x-h)^{2} + k}}$

Del cual (h, k) es su vértice.

En sí, el máximo valor nos hace referencia a k, por lo que de lo anterior, concluimos que el máximo valor es 12.

Ahora, puedes hacerlo por derivada e igualar a 0:

$f'(x) = 6 - 6x = 0 \to 6x=6$

$x=1$

Sustituyes el valor en la función original:

$f(1)=9+6(1)-3(1)^{2}$

$\bf{f(1)=12}$

Saludos !