Question

El m.c.m. de dos números es 336 y la suma de sus cuadrados es 5440. Hallar la diferencia de dichos números:

Answer 1

La diferencia entre los números 48 y 56 que cumplen las condiciones del mínimo común múltiplo es 8.

¿Cómo hallar la diferencia entre los números que cumplen las condiciones?

Si factorizamos el número 336 tenemos $336=2^4.3.7$, por lo que, si es el mínimo común múltiplo de dos números 'a' y 'b', eso significa que al menos uno de ellos es múltiplo de 3, múltiplo de 7 o múltiplo de 16. Si asumimos que los dos números sean múltiplos de 3 queda, planteando la suma de sus cuadrados:

$a^2+b^2=(3x)^2+(3y)^2=5440\\\\9x^2+9y^2=5440\\x^2+y^2=\frac{5440}{9}=604,44$

La suma de los cuadrados de dos números enteros no puede ser un número no entero, por lo que uno de los números no es múltiplo de 3. Si asumimos que los dos son múltiplos de 7 tenemos:

$(7x)^2+(7y)^2=5440\\49x^2+49y^2=5440\\x^2+y^2=\frac{5440}{49}=111,02$

Por la misma razón, uno de los números no es múltiplo de 7. Podemos asumir que los dos números sean múltiplos de 16 o de 8:

$(16x)^2+(16y)^2=5440\\x^2+y^2=\frac{5440}{16^2}=21,25\\\\(8x)^2+(8y)^2=5440\\x^2+y^2=\frac{5440}{8^2}=85$

Los dos números son múltiplos de 8, ahora podemos buscar dos números cuadrados perfectos (cuya raíz cuadrada sea entera) cuya suma sea 85, tenemos:

81+4=85

49+36=85

Nos quedamos con la segunda suma porque tiene un múltiplo de 7 y un múltiplo de 3, queda x=7 e y=6:

$(8.7)^2+(8.6)^2=5440\\\\56^2+48^2=5440$

Entonces, la diferencia entre esos números que cumplen las condiciones iniciales es 56-48=8.

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