Question

El largo del comedor rectangular(mesa) de Pablo es 3m mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3m y el largo aumenta 2m, el área se duplica.

A partir de estos datos:

1. ¿Cuál es la representación gráfica del problema?

2. ¿Cuál es el polinomio que expresa el perímetro del comedor con las longitudes incrementadas?

3. ¿Cuál es el polinomio que expresa el área original y final del comedor?

4. ¿Cuál es el área original del comedor?

Answer 1

1) Representación gráfica: Ver archivo adjunto

2) El polinomio que expresa el perímetro del comedor con las longitudes incrementadas:

$\large\boxed{\bold { Perimetro = 2\ (x+2) \ +2 \ (y +3) }}$

3) Polinomio que expresa el área original del comedor

$\large\boxed{\bold { Area\ = x\ . \ y }}$

Polinomio que expresa el área final de comedor

$\large\boxed{\bold { Area\ = (x+2)\ . \ (y +3) }}$

4) El área original del comedor es de 40 metros cuadrados

Solución

El largo del comedor (mesa) rectangular de Pablo es 3 metros mayor que el ancho. Donde si el ancho aumenta 3 metros y el largo aumenta 2 metros el área se duplica.

Se pide hallar:

1) Representación gráfica del problema

Se agrega en el archivo adjunto

2) ¿Cuál es el polinomio que expresa el perímetro del comedor con las longitudes incrementadas?

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2\ Largo \ +2 \ Ancho }}$

Donde llamaremos variable x a su largo, el cual aumenta 2 metros. Y variable y a su ancho el cual aumenta 3 metros. Incrementándose ambas longitudes con respecto al comedor original

$\large\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2\ x \ +2 \ y }}$

Si el largo aumenta 2 unidades será (x + 2)

Si el ancho se incrementa 3 unidades será (x +3)

Resultando en:

$\large\boxed{\bold { Perimetro = 2\ (x+2) \ +2 \ (y +3) }}$

Obteniendo el polinomio que expresa el perímetro del comedor con las longitudes incrementadas

3) ¿Cuál es el polinomio que expresa el área original y final del comedor?

El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (x e y)

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo\ . \ Ancho }}$

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = x\ . \ y }}$

Teniendo para el área original el polinomio:

$\large\boxed{\bold { Area\ = x\ . \ y }}$

Y para el área final del comedor el polinomio:

$\large\boxed{\bold { Area\ = (x+2)\ . \ (y +3) }}$

4) ¿Cuál es el área original del comedor?

Si el largo aumenta 2 metros se tiene (x+2)

Si el ancho se incrementa 3 metros se tiene (y+3)

Donde el área se duplica resultando en 2xy

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { (x+2)\ . \ (y +3) = 2xy }}$  $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Dado que originalmente el largo es 3 metros mayor que el ancho

$\large\boxed{\bold { x = y+3 }}$   $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\large\textsf{ En Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed{\bold { (x+2)\ . \ (y +3) = 2xy }}$

$\large\textsf{Reemplazamos Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed{\bold { (x+2)\ . \ (y +3) = 2xy }}$

$\boxed{\bold { (y +3 +2)\ . \ (y +3) = 2y (y+3)}}$

$\boxed{\bold { (y +5)\ . \ (y +3) = 2y (y+3)}}$

$\boxed{\bold { (y +5) = \frac{ 2y \not (y+3) }{ \not (y +3) } } }$

$\boxed{\bold { y +5 = 2y }}$

$\boxed{\bold { 2y= y +5 }}$

$\boxed{\bold { 2y- y = 5 }}$

$\large\boxed{\bold { y = 5 }}$

$\large\textsf{Reemplazamos en Ecuaci\'on 2 }$

El valor hallado de y

$\large\boxed{\bold { x = y+3 }}$

$\boxed{\bold { x = 5 +3 }}$

$\large\boxed{\bold { x = 8 }}$

Hallamos el área original del comedor a partir de los valores hallados

$\large\boxed{\bold { Area\ = x\ . \ y }}$

$\boxed{\bold { Area\ = 8 \ m \ . \ 5 \ m }}$

$\large\boxed{\bold { Area\ = 40 \ m^{2} }}$

El área original del comedor es de 40 metros cuadrados