Question

El lado del cubo de la figura mide 20 cm. Determinar:
Tomar en cuenta que:
AB⃗⃗⃗⃗⃗ = O⃗⃗⃗⃗B⃗ − O⃗⃗⃗⃗A⃗ = (20j + 20k⃗ ) − (+20i ) = (−20i + 20j + 20k⃗ ) cm


CD⃗⃗⃗⃗⃗ = O⃗⃗⃗⃗⃗D⃗ − O⃗⃗⃗⃗C⃗ = (20i + 20j ) − (+20j ) = (20 − 20j + 20k⃗ ) cm
a) El producto AB⃗⃗⃗⃗⃗ . CD⃗⃗⃗⃗⃗
b) El producto AB⃗⃗⃗⃗⃗ x CD⃗⃗⃗⃗⃗
c) El producto CD⃗⃗⃗⃗⃗ x AB⃗⃗⃗⃗⃗
d) El ángulo entre AB⃗⃗⃗⃗⃗ y CD⃗⃗⃗⃗⃗
e) La proyección de AB⃗⃗⃗⃗⃗ sobre CD⃗⃗⃗⃗⃗
f) P⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ + CD⃗⃗⃗⃗⃗
g) W⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ − CD⃗⃗⃗⃗⃗
h) Hallar el unitario de P⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ + CD⃗⃗⃗⃗⃗
i) Hallar el unitario de la proyección AB⃗⃗⃗⃗⃗ sobre CD⃗⃗⃗⃗⃗

Answer 1

De acuerdo a la información suministrada sobre las características de los vectores OB, OA, OD, OC, AB y CD, tenemos que:

• El producto escalar AB · CD es 400 cm²
• El producto vectorial AB x CD es ( 800*i + 800*j + 0*k ) cm²
• El producto vectorial CD x AB es ( - 800*i - 800*j + 0*k ) cm²
• El ángulo entre AB y CD es 70.5288°
• La proyección de AB sobre CD viene dada por el producto escalar  AB · CD, por lo que dicha proyección es 400 cm²
• El vector P es ( 0 , 0 , 40 ) cm
• El vector W es ( - 40 , 40 , 0 ) cm
• El vector unitario de P es ( 0 , 0 , 1 ) cm
• El vector unitario de la proyección AB sobre CD es ( 0.5774 , - 0.5774 , 0.5774 ) cm

¿Cómo podemos realizar las operaciones con vectores solicitadas?

Para realizar las operaciones con vectores solicitadas nos apoyamos en el álgebra vectorial, tal como se muestra a continuación:

• Producto escalar:

AB · CD = ( - 20 , 20 , 20 ) · ( 20 , - 20 , 20 )

AB · CD = ( - 20 )*20 + 20*( - 20 ) + 20*20

AB · CD = - 400 - 400 + 400

AB · CD = 400 cm²

• Producto vectorial:

AB x CD = ( - 20 , 20 , 20 ) x ( 20 , - 20 , 20 )

AB x CD = [ 20*20 - ( - 20 )*20 ]*i + [ ( - 20 )*20 - 20*20 ]*( - j ) + [ ( - 20 )*( - 20 ) - 20*20 ]*k

AB x CD = [ 400 + 400 ]*i + [ - 400 - 400 ]*( - j ) + [ 400 - 400 ]*k

AB x CD = 800*i + 800*j + 0*k

AB x CD = ( 800 , 800 , 0 ) cm²

CD x AB = ( 20 , - 20 , 20 ) x ( - 20 , 20 , 20 )

CD x AB = [ ( - 20 )*20 - 20*20 ]*i + [ 20*20 - ( - 20 )*20 ]*( - j ) + [ ( - 20 )*( - 20 ) - 20*20 ]*k

CD x AB = [ - 400 - 400 ]*i + [ 400 + 400 ]*( - j ) + [ 400 - 400 ]*k

CD x AB = - 800*i - 800*j + 0*k

CD x AB = ( - 800 , - 800 , 0 ) cm²

• Cálculo del ángulo entre AB y CD:

| AB x CD | = | AB |*| CD |*sin( α ), siendo α el ángulo entre los vectores AB y CD

| AB | = | ( - 20 , 20 , 20 ) |

| AB | = √[ ( - 20 )² + 20² + 20² ]

| AB | = √[ 400 + 400 + 400 ]

| AB | = √1200

| AB | = 34.641 cm

| CD | = | ( 20 , - 20 , 20 ) |

| CD | = √[ 20² + ( - 20 )² + 20² ]

| CD | = √[ 400 + 400 + 400 ]

| CD | = √1200

| CD | = 34.641 cm

| AB x CD | = | ( - 800 , - 800 , 0 ) |

| AB x CD | = √[ ( - 800 )² + ( - 800 )² + 0² ]

| AB x CD | = √[ 640000 + 640000 + 0 ]

| AB x CD | = √1280

| AB x CD | = 1131.3708 cm

| AB x CD | = | AB |*| CD |*sin( α )

1131.3708 = 34.641*34.641*sin( α )

1131.3708 = 1200*sin( α )

sin( α ) = 0.9428

α = 70.5288°

• Cálculo del vector P:

P = AB + CD

P = ( - 20 , 20 , 20 ) + ( 20 , - 20 , 20 )

P = [ ( - 20 + 20 , 20 + ( - 20 ) , 20 + 20 ) ]

P = ( 0 , 0 , 40 )

• Cálculo del vector W:

W = AB − CD

W = ( - 20 , 20 , 20 ) − ( 20 , - 20 , 20 )

W = [ ( - 20 - 20 , 20 - ( - 20 ) , 20 - 20 ) ]

W = ( - 40 , 40 , 0 )

• Cálculo del unitario de P:

P = ( 0 , 0 , 40 )

| P | = √[ 0² + 0² + 40² ]

| P | = √[ 40² ]

| P | = 40 cm

Unitario de P =  ( 0 , 0 , 40 )/40

Unitario de P =  ( 0 , 0 , 1 )

• Cálculo del unitario de la proyección AB sobre CD:

El unitario de la proyección AB sobre CD es el unitario de CD.

Unitario de CD = ( 20 , - 20 , 20 )/34.641

Unitario de CD = ( 0.5774 , - 0.5774 , 0.5774 )

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