El lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia mide 24 cms. ¿Cuál es el radio de
la circunferencia?
Respuestas a la pregunta
Siendo un pentágono regular (lados iguales y ángulos internos y centrales iguales), si te fijas en el dibujo adjunto, te darás cuenta de que al trazar los radios de la circunferencia circunscrita OA y OB, se nos forma un triángulo isósceles AOB donde los radios son los dos lados iguales de ese triángulo.
Por otro lado, en cualquier pentágono regular podemos calcular fácilmente lo que mide uno de sus ángulos centrales ya que solo hemos de dividir entre 5 al ángulo que representa una vuelta completa y que mide 360º.
Si dividimos: 360 ÷ 5 = 72º mide cada ángulo central de cualquier pentágono regular.
Si en el triángulo formado trazamos la altura, dividimos el isósceles en dos triángulos rectángulos iguales.
Con ello, el ángulo central también lo dividimos en dos partes iguales que miden:
- 72 ÷ 2 = 36º y es lo que he indicado en el dibujo.
Y también el lado del pentágono (24 cm.) lo dividimos por la mitad:
- 24 ÷ 2 = 12 cm. también indicado en el dibujo.
Tomando uno de los dos triángulos rectángulos, por ejemplo, el Δ OAC, fíjate que disponemos de los datos necesarios para calcular la hipotenusa OA de dicho triángulo que es el radio que nos pide el ejercicio.
- Ángulo ∡AOC = 36º
- Cateto opuesto AC = 12 cm.
Recurrimos a la función trigonométrica del seno que relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa (recordemos que para nuestro ejercicio, la hipotenusa es el radio de la circunferencia)
Buscamos el seno de 36º usando la calculadora científica o bien tablas trigonométricas y me dice que:
- sen. 36º = 0,588 (aproximando en las milésimas)
Tenemos la fórmula del seno:
- sen α = Cat. opuesto ÷ Hipotenusa
Despejo la hipotenusa y sustituyo los valores conocidos:
Hipotenusa (radio) = Cat. opuesto (12) ÷ sen 36º (0,588) = 20,4 cm.
El radio de la circunferencia mide 20,4 cm.
(indicado en rojo en el dibujo)
Explicación paso a paso:
en medio la q está 12 12 ai esta