Question

El isótopo radioactivo del bismuto tiene una vida media de 5 días. Si hay 100mg de presentes en t=0, la cantidad f(t) restante al cabo de t días está dada por f(t) = 100(2) elevado a $\frac{-t}{5}$ . ¿Cuanto quedará después de 5 y 10 días?

Answer 1

$\texttt{Sea }x\texttt{ la masa inicial }(t=0)\texttt{ es decir }x(0)=100\texttt{, entonces}\\ \\ \hspace*{5cm}\dfrac{dx}{dt}=-ax\\ \\ \texttt{Donde }a\texttt{ es una constante de desintegraci\'on radioactiva}\\ \\ dx=-ax~dt\\ \\ \dfrac{dx}{x}=-a~dt\\ \\ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x} =-a\int dt\\ \\ \ln x-\ln [x(0)]=-at\\ \\ \ln x = \ln 100 -at\\ \\ x(t)=100e^{-at}\\ \\ \\ \texttt{Sobre la vida media }(T)\\ \\ \hspace*{4cm}T=\dfrac{1}{a}\ln 2\\ \\ \\ \hspace*{4cm}5=\dfrac{1}{a}\ln 2$


$\hspace*{4cm}a=\dfrac{1}{5}\ln 2\\ \\ \texttt{Entonces: }\\ \\ x(t)=100e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\\ \\ x(t)=100\cdot 2^{-t/5}\\ \\ \\ \texttt{Entonces en 5 d\'ias hay }x(5)=50\text{ mg } \texttt{de Bismuto y en 10 d\'ias} \\ \texttt{hay }x(10)=25\text{ mg }$