Question

El Instituto Nacional de Astronomía ha detectado un nuevo satélite, cuya órbita obedece a una trayectoria elíptica con respecto a Saturno. Si se toma en cuenta el centro (C) del planeta, y uno de los focos (F) y vértices (A) de la trayectoria: C(0,0); F(2,0) y A(3,0) respectivamente, cuyas distancias están aproximadas en ciento de miles de kilómetros, ¿cuál es la ecuación que rige el movimiento del satélite?

Answer 1

Hola amigo, para responder ese problema necesitas conocer los elementos de la elipse:
Semieje focal (representado con la letra "a")
La relación: a^2 = b^2 + c^2
La ecuación de la elipse con centro en el origen:
Cuando la elipse es paralela al eje X (que es el caso del ejercicio planteado) se usa la ecuación (x^2/a^2)+(y^2/b^2) = 1
[Nota: En caso de que tú elipse sea paralela al eje Y la ecuación sería (x^2/b^2)+(y^2/a^2) = 1 puesto que el semieje mayor se extiende en el eje Y]

Y listo, ahora, de acuerdo al ejercicio planteado se te dan a conocer los siguientes datos:
Centro (0;0)
Foco (0;2)
Vértice (0;3)

Para poder obtener nuestra ecuación necesitamos los valores de "a" y "b" pero solo tenemos los valores de "a" y "c".
Bien, el semieje de la elipse con centro en el origen comprende desde el mismo centro hasta el vértice, es decir "a" que viene a ser igual a 3.
"c" corresponde a la distancia entre el centro hasta el foco, y es igual a 2.

Entonces despejamos a^2 = b^2 + c^2; donde b = $\sqrt{a^2-c^2}$
Así, b= $\sqrt{5}$

Por lo que ahora solo se debe reemplazar en la ecuación de la elipse, quedando:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5}$ = 1