Question

El ingreso de una empresa está modelado por la siguiente ecuación: I = - 0,05x2 + 20x + 1000, donde x es la cantidad producida y vendida.

a) Grafique la ecuación de Ingreso en un plano cartesiano e indique su vértice. (3 puntos)

b) Indique el ingreso máximo y la cantidad que maximiza al ingreso. (1 punto)

Answer 1

Una empresa tiene un modelo del ingreso del cual se obtiene:

a) El vértice de la ecuación ingreso es:

      (200, 3000)

La gráfica se puede ver en la imagen adjunta.

b) El ingreso máximo y la cantidad que maximizar al ingreso es:

• Imax = 3000
• 200 unidades

¿Qué es el ingreso?

Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.

I = p × q

¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?

Es la aplicación de derivada una y dos veces hasta para obtener los puntos máximos y mínimos de la función.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico hay un mínimo.
• Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico hay un máximo.

a) ¿Cuál es el vértice de la ecuación ingreso?

Siendo;

I(x) = -0,05x² + 20x + 1000

Coordenada x;

xv = -b/2a

Siendo;

• b = 20
• a = -0,05

Sustitur;

xv = -(20)/2(-0,05)

xv = 200

Evaluar;

I(200) = -0,05(200)² + 20(200) + 1000

I(200) = 3000

El vértice es: (200, 3000)

b) ¿Cuál es el ingreso máximo y la cantidad que maximiza al ingreso?

Aplicar primera derivada;

I'(x) = d/dx (-0,05x² +20x + 1000)

I'(x) = -0,1x + 20

Aplicar segunda derivada;

I''(x) = d/dx(-0,1x + 20)

I''(x) = -0,1 ⇒ Máximo relativo

Igualar a cero la primera derivada;

-0,1x - 20 = 0

0,1x = 20

x = 20/0,1

x = 200 unidades

Evaluar x = 200 en I(x);

Imax = -0,05(200)² + 20(200) + 1000

Imax = 3000

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