Question

El ingreso de una empresa está modelado por la siguiente ecuación:
I = - 0,25x2 + 50x + 400, donde x es la cantidad producida y vendida.
a) Grafique la ecuación de Ingreso en un plano cartesiano e indique su vértice. b) Indique el ingreso máximo y la cantidad que maximiza al ingreso.

Answer 1

Una empresa tiene un modelo del ingreso del cual se obtiene:

a) El vértice de la ecuación ingreso es:

      (100, 2900)

La gráfica se puede ver en la imagen adjunta.

b) El ingreso máximo y la cantidad que maximizar al ingreso es:

• Imax = 2900
• 100 unidades

¿Qué es el ingreso?

Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.

I = p × q

¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?

Es la aplicación de derivada una y dos veces hasta para obtener los puntos máximos y mínimos de la función.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico hay un mínimo.
• Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico hay un máximo.

a) ¿Cuál es el vértice de la ecuación ingreso?

Siendo;

I(x) = -0,25x² + 50x + 400

Coordenada x;

xv = -b/2a

Siendo;

• b = 50
• a = -0,25

Sustitur;

xv = -(50)/2(-0,25)

xv = 100

Evaluar;

I(100) = -0,25(100)² + 50(100) + 400

I(100) = 2900

El vértice es: (100, 2900)

b) ¿Cuál es el ingreso máximo y la cantidad que maximiza al ingreso?

Aplicar primera derivada;

I'(x) = d/dx (-0,25x² + 50x + 400)

I'(x) = -0,5x + 50

Aplicar segunda derivada;

I''(x) = d/dx(-0,5x + 50)

I''(x) = -0,5 ⇒ Máximo relativo

Igualar a cero la primera derivada;

-0,5x + 50 = 0

0,5x = 50

x = 50/0,5

x = 100 unidades

Evaluar x = 100 en I(x);

Imax = -0,25(100)² + 50(100) + 400

Imax = 2900

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