Question

El gerente de una fabrica ha calculado que un trabajador puede producir mas de 30 unidades en un dia. La curva de aprendizaje del numero N de unidades producidas por dia despues de que un nuevo empleado haya trabajado t dias es N = 30(1-e^kt)
$n = 30(1 - {e}^{kt})$
Despues de 20 dias en el trabajo, un trabajador produce 19 unidades. ¿Cuantos dias pasarian antes de que este trabajador produzca 25 unidades por dia?​

Answer 1

Para que el trabajador produzca  25  unidades por día deberán pasar  35,72  días aproximadamente.

Explicación:

La curva de aprendizaje es un modelo matemático que permite predecir el número de unidades producidas por un empleado en relación al tiempo que lleva produciendo dichas unidades.

En el caso estudio, debemos calcular el valor de la constante  k  y luego, responder la interrogante planteada:

N  =  19                t  =  20

$\bold{19~=~ 30(1~-~e^{k(20)})\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{19}{30}~=~ 1~-~e^{k(20)}\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{e^{k(20)}~=~ 1~-~\dfrac{19}{30}\qquad\Rightarrow\qquad Ln(e^{k(20)})~=~ Ln(\dfrac{11}{30})\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{k(20)~=~ Ln(\dfrac{11}{30})\qquad\Rightarrow\qquad k~=~ (\dfrac{1}{20})Ln(\dfrac{11}{30})}$

De aquí que el modelo de simulación es:

$\bold{N_{(t)}~=~ 30[1~-~e^{(\dfrac{t}{20})Ln(\dfrac{11}{30})}]}$

Ahora calculamos el tiempo necesario para producir  25  unidades:

$\bold{25~=~ 30[1~-~e^{(\dfrac{t}{20})Ln(\dfrac{11}{30})}]\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{25}{30}~=~ 1~-~e^{(\dfrac{t}{20})Ln(\dfrac{11}{30})}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{e^{(\dfrac{t}{20})Ln(\dfrac{11}{30})}~=~ 1~-~\dfrac{25}{30}\qquad\Rightarrow\qquad Ln[e^{(\dfrac{t}{20})Ln(\dfrac{11}{30})}]~=~ Ln(\dfrac{1}{6})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{(\dfrac{t}{20})Ln(\dfrac{11}{30})~=~Ln(\dfrac{1}{6})\qquad\Rightarrow\qquad t~=~ \dfrac{20\cdot Ln(\dfrac{1}{6})}{Ln(\dfrac{11}{30})}~\approx~35,72~d\acute{i}as}$

Para que el trabajador produzca  25  unidades por día deberán pasar  35,72  días aproximadamente.