Question

El factorial de un número natural n es el producto n!= 1 x 2 x 3 x . . .x n.
Si n! = 2^15 x 3^6 x 5^3 x 7^2 x 11 x 13, determine el valor de n.

Answer 1

n=16

$n!=2^{15}\times 3^6\times 5^3\times7^2\times11\times13$

Para calcular el valor de n, tenemos que usar todos los factores que tenemos a disposición para ir formando los números faltantes del factorial de n. Por ejemplo:

$2^{15}=2^{13}\times2\times2=2^{13}\times4$

De esta forma:

$2^{15}=2^{13}\times4=2^{10}\times4\times 8$

$n!=2^{10}\times 3^6\times4\times 5^3\times7^2\times8\times11\times13$

Luego:

$6=2\times3\\9=3^2\\10=2\times5$

$n!=2^8\times 3^3\times4\times 5^2\times 6\times7^2\times8\times 9\times 10\times11\times13$

Seguimos:

$12=2^2\times 3\\14=2\times 7\\15=5\times 3$

$n!=2^5\times 3\times4\times 5\times 6\times7\times8\times 9\times 10\times11\times12\times13\times14\times15$

Y por último:

$16=2^4$

$n!=2\times 3\times4\times 5\times 6\times7\times8\times 9\times 10\times11\times12\times13\times14\times15\times16\\\\n=16$

Espero que te sirva, saludos!