El extremo del diametro de und circonferencia de centro C(6-2)
es A(2,4); halla las coordenadas B(x, y) del otro extremo.
Respuestas a la pregunta
Respuesta: Las coordenadas del extremo son (10,-8).
Explicación: Se determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos C(6,-2) y A(2,4). El otro extremo del diámetro (el extremo buscado) debe pertenecer a esa recta. Además, la distancia desde el centro C hasta el extremo buscado es igual al radio de la circunferencia.
El radio R de la circunferencia es:
R = √[(4-(-2))² + (2-6)²] = √[ 6² + (-4)²] = √52
* Recta que pasa por los puntos C(6,-2) y A(2,4) .
La pendiente es m = [4-(-2)] /(2-6) = -3/2.
La ecuación es y-y1 = m(x-x1), donde (x1,y1) es C(6-2).
La ecuación es y - (-2) = (-3/2)[x - 6] ⇒ y + 2 = (-3/2)[x - 6]
y = (-3/2)[x - 6] - 2
y = -(3/2)x + 9 - 2
y = -(3/2)x + 7
* Sea (m , n) el otro extremo del diámetro. Entonces, como pertenece a la recta que pasa por C (6,-2) y por A(2,4), tenemos:
n = (-3/2)m + 7 ............. (1)
Y, como la distancia desde C(6,-2) hasta (m , n) es √52, tenemos:
(m-6)² + (n+2)² = 52 ........... (2)
Al sustituir el valor de n de la ecuación (1) en la ecuación (2), obtenemos:
(m-6)² + [((-3/2)m + 7) + 2]² = 52
(m-6)² + [(-3/2)m + 9]² = 52
m² - 12m + 36 + [(9/4)m² - 27m + 81] = 52
(13/4)m² - 39m + 117 - 52 = 0
(13/4)m² - 39m + 65 = 0
Al multiplicar la ecuación por 4 para eliminar el denominador, se obtiene:
13 m² - 156m + 260 = 0
De aquí, m = 2 y m = 10
Si m = 2, al sustituir este valor en (1), se obtiene:
n = [(-3/2) . 2] + 7 = 4 . Las coordenadas del extremo son (2,4).
Si m = 10, al sustituir en (1), tenemos:
n = [(-3/2) . 10] + 7 = -8 . Las coordenadas del extremo son(10,-8)