Question

El experimento se realizó para 200 familias (cada familia simulada se considera un ensayo) y que la probabilidad de que nazca un niño o una niña es del 50%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un varón entre 105 y 120 ensayos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un varón en más de 88 ensayos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un varón en menos de 110 ensayos?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un varón entre 55 y 97 inclusive ensayos?

e) ¿Por qué medio es más fácil resolver el problema, mediante un estudio estadístico o probabilístico?

f) ¿Resultó más explicativo y entendible el estudio probabilístico?

Answer 1

Determinamos la probabilidad que nazcan niños entre 200 familias.

• La probabilidad que nazca niño entre 105 y 120 familias es de 24%.
• La probabilidad que nazca niño en más de 88 familias es 96%.
• La probabilidad que nazca niño en menos de 110 familias es 92%.
• La probabilidad que nazca niño entre 55 y 97 familias es 66%.
• La mejor forma de obtener los resultados es normalizando y estandarizando los estadísticos.

Datos:

Número de ensayos: n = 200 familias.

Probabilidad que nazca niño: p = 0,5

Probabilidad que nazca niña 1 - p = 0,5

Procedimiento:

El experimento realizado corresponde a una distribución binomial. La cual podemos transformar en una distribución normal para obtener la media y la desviación estándar.

Para obtener la media de la distribución, utilizamos la siguiente expresión:

$\boxed{\mu= n*p} \quad \longrightarrow \quad \mu = 200*0,5 = 100$

Para obtener la distribución estándar, utilizamos la siguiente expresión:

$\boxed{\sigma = \sqrt{n*p*(1-p)}} \quad \longrightarrow \quad \sigma=\sqrt{200*0,5*0,5} = \sqrt{50}$

Con estos valores podemos estandarizar las variables, para calcular la distribución normal. Para calcular la probabilidad debemos estandarizar los parámetros, sabiendo que esta tiene una distribución normal. Para eso calculamos los valores de Z:

$\boxed{Z = \frac{\big{X - \mu}}{\big{\sigma}}}$

A. Para la probabilidad que nazca niño entre X₁ = 105 y X₂ = 120, tenemos:

$Z_1 = \frac{\big{105-100}}{\big{\sqrt{50}}} = 0,71$

$Z_2 = \frac{\big{120-100}}{\big{\sqrt{50}}} = 2,83$

De esta forma, ya estandarizada sabemos que debemos determinar la probabilidad de P(Z₁ ≤ x ≤ Z₂) = P(0,71 ≤ x ≤ 2,83). Para determinar los valores de probabilidad, usamos una tabla de distribución normal estandarizada Z o en el Excel usando la siguiente formula =DISTR. NORM. ESTAND. N(0,71;VERDADERO).

Así tenemos que los valores de probabilidad para P(Z₁ = 0,71) = 0,7611 y para P(Z₂ = 2,83) = 0,9977, que representa los valores de la curva que están por debajo, en el lado izquierdo de la distribución.

Necesitamos conocer únicamente la probabilidad entre Z = 0,71 y Z = 2,83. Para eso, sabemos que debido a que la distribución de probabilidad es simétrica a izquierda y derecha entonces. Como queremos obtener el lado izquierdo de la distribución restamos la probabilidad obtenida a 1. Para P(Z = 0,71) = 1 - 0,7611 = 0,2389. Para P(Z = 2,83) = 1 - 0,9977 = 0,0023

Así tenemos que la probabilidad es:

P(0,71 ≤ x ≤ 2,83) = P(Z = 0,71) - P(Z = 2,83)

P(0,71 ≤ x ≤ 2,83) = 0,2389 - 0,0023 = 0,2366.

Este valor se puede representar en porcentaje multiplicando por 100 y redondear al entero cercano 23,66% ≈ 24%.

B. La probabilidad nazca varón en más de X ≥ 88:

$Z = \frac{\big{88-100}}{\big{\sqrt{50}}} = -1,70$

P(Z ≤ -1,70) = 0,0446     P(Z ≥ -1,70) = 1 - 0,0446 = 0,9554   ≈   96%

C. Probabilidad que nazca niño en menos de X ≤ 110:

$Z = \frac{\big{110-100}}{\big{\sqrt{50}}} = 1,41$

La probabilidad se obtiene directa: P(X ≤ 110) = 0,9207   ≈   92%

D. Probabilidad que nazca niño entre X₁ = 55 y X₂ = 97:

$Z_1 = \frac{\big{55-100}}{\big{\sqrt{50}}} = -6,36$

$Z_2 = \frac{\big{97-100}}{\big{\sqrt{50}}} = -0,42$

P(-6,36 ≤ x ≤ -0,42) = [1 - P(Z = -0,42)] - P(Z = -6,36)

P(-6,36 ≤ x ≤ -0,42) = 1 - 0,3372 - 0,0000 = 0,6628   ≈   66%