Question

El esquema de una montaña rusa simple se observa en la figura, donde un vagón parte desde una altura inicial h_1=50,0 m y se llega a una altura final h_f=0m. La energía potencial a la altura h_2 es 92,0 J; con base en la anterior información:

Determinar la energía potencial en la altura inicial h_1 y la altura h_2 , asumiendo que el vagón tiene un peso de 493 kg.
Si al vagón, se suben 4 personas, cada una con un peso promedio de 70 kg. ¿Cuánto es el valor de la energía potencial en la altura inicial?
¿Al final del recorrido, que tipo de energía adquiere el vagón? ¿Qué pasa cuando se aumenta la masa en el sistema?

Answer 1

El comportamiento del vagón al recorrer la montaña rusa se analiza por el teorema del trabajo y la energía, por el cual, considerando despreciable el rozamiento en la pista, se conserva la energía mecánica.

$E_{c1}+E_{p1}=E_{c2}+E_{p2}\\mgh_1+\frac{1}{2}mv_1^2=mgh_2+\frac{1}{2}mv_2^2$

Los datos que nos dan son la altura h1 y la energía potencial en h2, como asumimos que parte de h1 asumimos velocidad igual a cero en ese punto. La energía potencial en la altura h1 la determinamos de esta forma:

$E_{p1}=mgh_1= 493kg.10\frac{m}{s^2}.50m=246,5kJ$

La altura h_2 la despejamos de la ecuación de la energía potencial en ese punto:

$E_{p2}=mgh_2\\h_2=\frac{E_{p2}}{mg}=\frac{92kJ}{493kg.10\frac{m}{s^2}}=18,7m$

Con lo que la energía potencial en la altura h1 es 246,5kJ y la altura h2 es 18,7 metros.

Si al carro se suben 4 personas de 70kg cada una, la nueva energía potencial en la altura es:

$E_{p2b}=(m+4m_p).g.h_1=(493kg+4.70kg).10\frac{m}{s^2}.50m=386,5kJ$

Con lo que la energía potencial

Si planteamos la energía mecánica al final del recorrido (donde $m_2$ es la suma de la masa del vagón y de las 4 personas) tenemos:

$m_2=m+4m_p\\\\E_m=E_{pf}+E_{cf}=m_2.g.h_f+\frac{1}{2}mv_f^2 =m_2.g.0+\frac{1}{2}mv_f^2$

Tenemos que toda la energía es cinética ya que la altura es cero. Si tramos al frente lo aclarado al principio, que la energía mecánica se conserva y considerando que en la altura h1 toda la energía es potencial, podemos decir que:

$E_{p1}=E_{cf}\\m_2.g.h_1=\frac{1}{2}m_2v^2\\g.h_1=\frac{1}{2}v^2$

De este desarrollo podemos sacar como conclusión que, la variación de la masa del sistema no afecta a las velocidades (el famoso experimento de la bola de bolos y la pluma) y que aumentar la masa solo aumenta la energía del sistema.

Por otro lado en el rulo debe cumplirse, para que el vagón no caiga, que la aceleración centrípeta compense al peso:

$m_2g=m_2\frac{v^2}{r}=m_2\frac{v^2}{\frac{h_2}{2}}=2m_2\frac{v^2}{h_2}$

$g=\frac{2v^2}{h_2}$

Como vemos el aumento en la masa del sistema tampoco afecta a la velocidad en el rulo.

Con lo que resumiendo, al final de recorrido toda la energía es cinética y el aumento de la masa del sistema solo influye en la energía mecánica del sistema mas no en las velocidades.