Question

El equipo de investigadores, conocedores de los beneficios que tiene el consumo de maíz morado para prevenir las enfermedades, presentará un proyecto al Ministerio de Agricultura y Riego para incrementar el número de departamentos en el Perú que produzcan maíz morado, siempre y cuando se cumplan las condiciones a y b:
a) Que la probabilidad de que menos de 5 departamentos del país produzcan maíz morado, de una muestra de 15 departamentos, sea inferior al 50%. Teniendo en cuenta que la probabilidad de que un departamento produzca maíz morado es del 33%.
b) Que la probabilidad de que un comerciante venda maíz morado a más de 7 clientes en un día sea mayor al 24%. Por una investigación previa se conoce que el número promedio de personas que compran maíz morado a un comerciante es de 42 clientes por semana.

c) ¿Qué decisión tomarán los investigadores? Justifique su respuesta argumentando con los ítems a y b

Answer 1

La probabilidad de que que menor de 5 comerciantes vendan maiz morado es 0.41483272 que en porcentaje es inferior al 50%, pero la probabilidad de un comerciante venda en un día a más de 7 clientes es de 0.137676978 = 13,7676978% por lo que no es mayor al 24%, no se debe ejecutar el proyecto.

a) Que la probabilidad de que menos de 5 departamentos del país produzcan maíz morado, de una muestra de 15 departamentos, sea inferior al 50%

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que conociendo la probabilidad de éxito de un evento se quiere determinar que en n experimento tengamos x éxitos, la función de probabilidad es:

P(X = x) = n!/((n-x)!*x!)*pˣ*(1-p)ⁿ⁻ˣ

La probabilidad de que un departamento produzca maiz morado es 33% = 0.33 queremos determinar que de una muestra de 15, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 5 de ellos produzcan maíz morado?

Entonces en este caso p = 0.33 n = 15 y se desea saber la probabilidad de X < 5

P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

Usamos la fórmula de distribución binomial calculamos en Excel las 5 probabilidades y las sumamos (Ver imagen 1 adjunta)

P(X < 5) = 0.41483272

En porcentaje: tenemos que la probabilidad es igual a 0.41483272*100% = 41.483272%

Como es menor que 50% entonces se cumple el inciso a.

Pregunta B: el número promedio que compra a un comerciante maíz morado por semana es de 42 clientes, por lo tanto por día se le compra en promedio: 42/7 = 6, queremos determinar la probabilidad de que un día compren 7 clientes

La distribución Poisson es una distribución de probabilidad discreta usada en estadística para medir la probabilidad de que ocurra cierta cantidad de eventos en un tiempo determinado o en un espacio determinado, entre otros.

La función de probabilidad de la distribución Poisson es:

$P(k,\lambda) = \frac{e^{-\lambda}*\lambda^{k} }{k!}$

• Donde k es la cantidad deseada de eventos en un tiempo determinado.

• λ es la cantidad de eventos que ocurren en promedio, en dicho tiempo.

El ejercicio nos dice que en promedio compran 6 clientes en un día, por lo tanto λ = 6

Queremos determinar la probabilidad de que compren 7, por lo tanto k = 7

$P(7,6) = \frac{e^{-6}*6^{7} }{7!}$ = 0.137676978

En porcentaje: multiplicamos por 100%:

0.137676978*100% = 13,7676978% es menor que el 24%

No se cumple el inciso B

c) ¿Qué decisión tomarán los investigadores?

Los investigadores no deben ejecutar el proyecto y no deben incrementar el número de departamentos en el Perú que produzcan maíz morado, pues no se cumple el inciso b