Matemáticas, pregunta formulada por omaride3Rigo, hace 1 año

El entero positivo n y el primo p cumplen que p no divide a (3n)! pero si divide a
(3n + 1)! + (3n + 2)!.
Mostrar que 3 divide a p − 1

Respuestas a la pregunta

Contestado por arthurpdc
1
Vamos a desarrollar la expresión E que p divide:

E=(3n+1)!+(3n+2)!\\\\
E=(3n+1)(3n)!+(3n+2)(3n+1)(3n)!\\\\
E=(3n)![(3n+1)+(3n+2)(3n+1)]\\\\
E=(3n)![3n+1+9n^2+9n+2]\\\\
E=(3n)!(9n^2+12n+3)\\\\
E=3(3n)!(3n^2+4n+1)\\\\ E=3(3n)!(n+1)(3n+1)

Como p divide E, pero no divide (3n)! (consquentemente p > 3n, porque p es primo y no divide cualquier número igual o menos de 3n), entonces p divide (n+1) o (3n+1).

Sabemos que p > 3n, luego p divide 3n+1. Por la misma razón debemos tener p=3n+1.

Por lo tanto:

p=3n+1\\\\
3n=p-1\\\\
n=\dfrac{p-1}{3}

Tenemos que n es un entero, entonces 3 divide p-1. ~~\blacksquare
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