Question

El entero positivo de 9 dígitos con patrón de dígitos ABCABCBBB es divisible por cada entero del 1 al 17. Los dígitos A, B, C son distintos. ¿Cuál es la suma 2A+3B+2C?

Answer 1

La suma 2A + 3B + 2C, sabiendo que A, B y C son tres dígitos diferentes, y que al formar el número de 9 dígitos $\overline{ABCABCBBB}$, este resulta divisible por cada entero del 1 al 17, es igual a 18.

Para averiguar el valor de cada letra, debemos considerar los criterios de divisibilidad de los números del 1 al 17.

En primer lugar se asume que B tiene que ser un número par, pero como también es divisible por 5, su valor solo puede ser cero (0), ya que un número es divisible entre 5 si termina en cinco (5) o en cero (0), y 5 no es par.

Para ser divisible entre 3, la suma de sus cifras debe ser 3 o múltiplo de 3, pero para ser divisible entre 9, la suma de sus cifras debe dar 9 o múltiplo de 9. Esto acota los valores de A y C.  

Al haber 2 dígitos A y dos dígitos C, y B ser neutro para la suma, no es posible que la suma de nueve, así que las opciones es que la suma de 18. Los posibles valores de A y C pueden ser 5 y 4, 6 y 3, 7 y 2, y 8 y 1.  

En este punto, por tanteo, llegamos a 306306000, que es divisible por cada entero del a al 17

306306000 ÷ 1 = 306306000

306306000 ÷ 2 = 153153000

306306000 ÷ 3 = 102102000

306306000 ÷ 4 = 76576500

306306000 ÷ 5 = 61261200

306306000 ÷ 6 = 51051000

306306000 ÷ 7 = 43758000

306306000 ÷ 8 = 38288250

306306000 ÷ 9 = 34034000

306306000 ÷ 10 = 30630600

306306000 ÷ 11 = 27846000

306306000 ÷ 12 = 25525500

306306000 ÷ 13 = 23562000

306306000 ÷ 14 = 21879000

306306000 ÷ 15 = 20420400

306306000 ÷ 16 = 19144125

306306000 ÷ 17 = 18018000

A = 3

B = 0

C = 6

2A + 3B + 2C =

2(3) + 3(0) + 2(6) =

6 + 0 + 12 =

18

La suma 2A+3B+2C es igual a 18.

Answer 2

TEORIA:

• multiplos de 2ⁿ y 5ⁿ

un numeral sera divisiblepor 2ⁿ o 5ⁿ  si el numeral formado por las n ultimas cifras es   multiplo de  2ⁿ o 5ⁿ

• multiplos de 9°

todo numeral es multiplo de 9 si la suma de sus cifras es multiplo de 9

RESOLUCION

abc abc bbb

del encunciado dice que el numeral es divisible por ( 1,2,3,4,5,6,....,17)

entonces

abc abc bbb = 5°=2°

abc abc bbb=5°¹

b=5°¹

abc abc bbb=2°¹

b=2°

b es multiplo de 2 y de 5 , osea multiplo de 10°

b≠10° , ya que b tiene que ser menor que la base

b=0

recuerda que 0 es multiplo de cualquier numero

ahora notamos que el numeral es multiplo de 16°

abc abc bbb=16°

abc abc bbb=(2⁴)°

a0c a0c 000=(2⁴)°

c000=(2⁴)°

10³.c=16°

(16°+8)c=16°

8c=16°

c=(2,4,6,8)

ahora aplicamos la teoria de multiplos de 9°

abc abc bbb=9°

a0c a0c 000=9°

2(a+c)=9°

c+a=9°

2+7

4+5

6+3

8+1

9+9 ---> recuerda que b≠a

osea que a+c=9

¿Cuál es la suma 2A+3B+2C?

2a+2c+3b

2(a+c)+3(0)

2(9)+0=18