Question

El electrón del átomo de hidrógeno pasa de una órbita en la que su momento angular es
4,22 x 10-27 erg.s a otra en la que su energía cinética es 2,176 x 10-18 J: a) determine
entre que órbitas se produce la transición electrónica; b) calcule la energía del fotón
emitido (eV); c) determine la energía mínima requerida para ionizar el átomo de
hidrógeno, si el electrón se encuentra en la órbita inicial antes de que ocurra la transición
(eV).

Answer 1

Antes que nada, recordemos que el átomo de hidrógeno tiene un protón y un electrón, con lo que la carga tanto del núcleo como del electrón es la carga elemental.

a) Si pasamos el momento dado a unidades MKS tenemos:

$1 erg= 1x10^{-7}J\\\\L=4,22x10^{-27} erg.s=4,22x10^{-34} J.s$

Ahora con ese valor ingresamos a la ecuación del primer postulado de Bohr, que dice que los niveles de energia permitidos son aquellos en los que el momento angular da un número entero de constantes de Planck reducidas:

$L=n\frac{h}{2\pi}\\\\n=\frac{2\pi L}{h}=\frac{4,22x10^{-34}Js.2\pi}{6,626x10^{-34}Js}=4$

La órbita inicial está en el nivel 4, ahora hay que hallar el momento angular de la otra órbita:

$E=\frac{1}{2}mv^2\\\\v=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{2.2,176x10^{-18}kg}{9,11x10^{-31}J}}=2,186x10^{6}\frac{m}{s}$

Y el radio de la órbita igualando la aceleración centrípeta a la atracción eléctrica:

$m\frac{v^2}{r}=k\frac{q^2}{r^2}\\\\r=k\frac{q^2}{mv^2}=9x10^9\frac{(1,6x10^{-19})^2}{9,11x10^{-31}.(2,186x10^{6})^2}=5,29x10^{-11}m$

Ahora el momento angular es:

$L=mvr=9,11x10^{-31}kg.2,186x10^{6}\frac{m}{s}.5,29x10^{11}m=1,054x10^{-34}Js$

Que según el primer postulado de Bohr corresponde al nivel de energía:

$L=\frac{nh}{2\pi}\\\\n=\frac{2\pi L}{h}=\frac{2\pi.1,054x10^{-34}Js}{6,626x10^{-34}Js}=1$

Con lo que el electrón pasa del nivel 4 al nivel 1.

b) La energía del electrón en una órbita es la suma entre la energía potencial eléctrica y la energía cinética:

$E=\frac{1}{2}mv^2-k\frac{q^2}{r}=$

Pero:

$v^2=k\frac{q^2}{m.r}$

Con lo que queda:

$E=-\frac{1}{2}k\frac{q^2}{r}$

Como ahora sabemos que el electrón parte del nivel 4 podemos conocer el radio de la órbita de dicho nivel con la ecuación del segundo postulado para los radios:

$r_4=\frac{4^2.h^2}{4\pi^2kmq^2}=\frac{16.(6,626x10^{-34})^2}{4\pi^2.9x10^{9}.9,11x10^{-31}(1,6x10^{-19})^2}=8,477x10^{-10}m$

Con lo cual, la energía en el nivel 4 es:

$E=-\frac{1}{2}9x10^{9}\frac{(1,6x10^{-19})^2}{8,477x10^{-10}}=-1,359x10^{-19}J$

La energía del fotón emitido (teniendo en  cuenta que la energía del nivel es igual a la energía cinética) es:

$E_f=E_4-E_1=-1,359x10^{-19}J-(-21,76x10^{-19}J)=2,04x10^{-18}=12,75eV$

Nos queda que cuando pasa del nivel 1 al nivel 4 el electrón emite un fotón de 12,75eV.

c) Si el electrón está en el nivel 4, la energía necesaria para extraerlo de la órbita es la energía que posee:

$E=-\frac{1}{2}k\frac{q^2}{r}=-\frac{1}{2}9x10^{9}\frac{(1,6x10^{-19})^2}{8,477x10^{-10}}=-1,359x10^{-19}J=-0,85eV$

Con lo cual para ionizar el átomo de hidrógeno extrayendo al electrón del nivel 4 de energía se necesitan al menos 0,85eV.