El dueño de una fábrica de sillas para oficina sabe por experiencias pasadas que si vende
cada silla a y (en unidades de diez mil pesos), el número de sillas que venderá semanalmente
será de x=20-y unidades. Entonces, su ingreso total semanal será I= xy= x(20-x), en diez mil
pesos. El costo de producir x sillas semanales está dado por la fórmula C= 25 + 2x. ¿A qué
precio se deben vender las sillas para asegurar una utilidad de $320000?
Respuestas a la pregunta
El dueño de una fábrica de sillas para oficina sabe por experiencias pasadas que si vende cada silla a " y " (en unidades de diez mil pesos), el número de sillas que venderá semanalmente será de x = 20 -y unidades. Entonces, su ingreso total semanal será I = xy = x(20 -x), (en unidades de diez mil pesos). El costo de producir " x " sillas semanales está dado por la fórmula C(x) = 25 + 2x.
¿A qué precio se deben vender las sillas para asegurar una utilidad de $320000?
Hola!!!
Sabemos que la Ecuación de Ingresos esta dada por:
Ingreso = Precio de venta × Cantidad
I(x) = X×y = X(20 - X)
I(x) = -X² + 20X Ecuación del INGRESO
Ecuación del Costo: Costo Fijo + Costo Unitario × Cantidad
C(x) = CF + CU× X
C(x) = 25 + 2x Ecuación del COSTO
La Ecuación de la Utilidad = Ingresos - Costos
U(x) = I(x) - C(x)
U(x) = -x² + 20x - (25 + 2x)
U(x) = -x² + 20x -25 - 2x
U(x) = -x² + 18x - 25 Ecuación de la UTILIDAD
Utilidad de $ 320000 ⇒ 320000/10000 = 32
32 = -x² + 18x - 25
-x² + 18x -25 -32
-x² + 18x -57 = 0
Resolvemos por Fórmula General: (-b+-√b²-4×a×c)/2×a
x₁ = 4
x₂ = 14 ⇒
Vendiendo mas de 4 sillas y menos de 14 asegura una Utilidad de por menos $ 320.000
U(x) = -x² + 18x - 25 El Máximo es el Vértice de la Parábola
x = -b/2×a
x = -18/2×(-1) ⇒
x = 9 ⇒ Con la Venta de 9 Sillas obtiene la Mayor Utilidad
U(x) = -9² + 18(9) - 25
U(x) = 56 Maxima Utilidad ( $ 56000 )
Verificamos con el gráfico (ver archivo adjunto)
Saludos!!!
