El dibujo (imagen adjunta) que sigue representa un ordenamiento de palillos, simulando la raíz de un árbol. Se inicia con dos palillos unidos por uno de sus extremos. Después en cada uno de los extremos que quedan libres se agregan dos palillos. Cada vez que se agregan palillos en los extremos libres decimos que se agregó una línea a la figura.
a) ¿Cuántos palillos son necesarios para formar la cuarta línea?
b) ¿Cuántos palillos, en total, son necesarios para hacer una figura de este tipo con cuatro líneas?
c) ¿Cuántos palillos son necesarios para construir la figura con diez líneas?
d) ¿Cuántos palillos serán necesarios para construir una figura que tiene n líneas?
Respuestas a la pregunta
Tarea:
El dibujo (imagen adjunta) que sigue representa un ordenamiento de palillos, simulando la raíz de un árbol. Se inicia con dos palillos unidos por uno de sus extremos. Después en cada uno de los extremos que quedan libres se agregan dos palillos. Cada vez que se agregan palillos en los extremos libres decimos que se agregó una línea a la figura.
- a) ¿Cuántos palillos son necesarios para formar la cuarta línea?
- b) ¿Cuántos palillos, en total, son necesarios para hacer una figura de este tipo con cuatro líneas?
- c) ¿Cuántos palillos son necesarios para construir la figura con diez líneas?
- d) ¿Cuántos palillos serán necesarios para construir una figura que tiene n líneas?
Respuesta:
a) 16 palillos
b) 30 palillos
c) 2.046 palillos
d) Dar valor a "n" en la fórmula: Sₙ = 2aₙ -2
Explicación paso a paso:
Lo que se desprende de esa formación es una progresión geométrica (PG) donde el valor del primer término a₁=2 (los dos palillos iniciales) y los términos siguientes aumentan su valor a razón de multiplicar por 2 ese valor inicial.
Así tenemos que en la 2ª línea (que corresponde al valor del segundo término a₂) contabilizaremos el resultado de multiplicar 2×2 = 4 palillos.
En la 3ª línea (que sería el valor del tercer término a₃) contaremos con 2×2×2 = 8 palillos.
Y siguiendo la progresión, en la cuarta línea (valor del cuarto término a₄) tendremos 2×2×2×2 = 16 palillos y con esto respondemos al apartado a).
Está claro pues que en esta progresión conocemos estos datos:
- Primer término a₁ = 2
- Razón de la progresión r = 2
Este tipo de progresiones también se conocen como "exponenciales" ya que en realidad lo que hacemos para saber el valor de un término cualquiera es elevar 2 a un exponente que será el nº de orden que tenga dicho término en la progresión. Así por ejemplo, si quiero saber cuántos palillos tendré en la 6ª línea solo tengo que operar la potencia:
2⁶ = 64 palillos y es el valor del término a₆
De aquí se deduce que el término general de esta PG será una potencia de base 2 y exponente "n" que representará el nº de orden de la línea cuyo nº de palillos queramos saber. Es decir:
aₙ = 2ⁿ
El apartado b) nos pide la suma de palillos necesarios para hacer una figura de cuatro líneas y para ello hay que acudir a la fórmula de suma de términos de cualquier PG que dice:
En nuestro caso tenemos 4 términos o líneas cuyos valores hay que sumar y para ello sabemos que n=4 (el nº de términos), sabemos que a₁=2, sabemos que a₄=16 (2⁴=16) y sabemos que r=2 así que sustituyo en la fórmula:
Y con esto tenemos la solución del apartado b)
Para el apartado c) haríamos lo mismo que hemos hecho en el b) pero teniendo en cuenta que ahora hemos de sumar el valor de los 10 primeros términos así que primero hemos de saber el valor de a₁₀ que será:
2¹⁰ = 1024
Con la fórmula de la suma:
Solucionado el apartado c)
Y finalmente para el apartado d) nos pide la fórmula genérica que nos valga para saber cuántos palillos serán necesarios para construir cualquier figura y esa cantidad va a depender de "n", es decir, del número de líneas (o términos de la progresión) que tenga la figura teniendo siempre en cuenta que en esta figura partimos de una cantidad inicial de 2 palillos que será el valor del primer término a₁ de la progresión geométrica y de la razón "r" que también sabemos que es 2.
Por tanto nos está pidiendo la fórmula genérica de la suma que ya anoté arriba y que repito aquí sustituyendo los datos conocidos :
Saludos.