El cuerpo estudiantil de 24 estudiantes quiere elegir un presidente, vicepresidente, secretario y tesorero, cuantos arreglos diferentes hay?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación paso a paso:
.3 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Una permutación de objetos implica orden mientras que una combinación no toma el orden de los objetos considerados.
Definición:
Dado un conjunto que contiene n elementos distintos X = {x1, x2, .... xn}
a) Una permutación de X es una ordenación de los n elementos x1, x2, .... xn
b) Una permutación–r (ó r-permutación) de X donde r n, es una ordenación de un subconjunto de r elementos de X.
c) El numero de permutaciones-r de un subconjunto de n elementos distintos se denota P(n, r)
d) Una combinación-r (r-combinación) es una selección no ordenada de r elementos de X, es decir, un subconjunto de r elementos de X.
e) El numero de combinaciones-r de un conjunto de n elementos distintos y se denota C(n, r) ó bien .
Ejemplo:
Sea X = {a, b, c}
Algunas permutaciones de X son: abc, acb, bac
Algunas permutaciones-2 de X son: ab, ba, ca
Algunas combinaciones-2 de X son: {a, b}, {a, c}, {b, c}
Teorema:
El número de permutaciones-r de un conjunto de n objetos distintos es
P(n, r) =(n)(n -1)(n - 2)...(n - r +1)
La demostración es directa aplicando la regla b) del producto.
Por este teorema el número de permutaciones-2 de X = {a, b, c} es 6, las cuales son: ab, ac, ba, bc, ca, cb
También por este Teorema el número de permutaciones en un conjunto de n elementos es
P(n, n) = (n)(n -1)(n - 2)...(3)(2)(1) = n!
Observese que P(n, r)·(n - r)! = n!, por lo que
Ejemplos:
a) De cuántas maneras se puede seleccionar un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero entre un grupo de 10 personas .
La respuesta es P(10, 4) = 10!/(10 - 4)! = 5,040 ó bien 10 · 9 · 8 · 7 = 5,040 maneras diferentes.
b) ¿De cuántas formas puede formarse en una fila 7 mexicanos distintos y 5 gringos distintos si ninguna pareja de gringos puede estar junta?
Podemos formar a los mexicanos y a los gringos mediante un proceso de dos partes. Formando a los mexicanos y a los gringos. Los mexicanos pueden formarse de 7! = 5040 maneras. Una vez formados los mexicanos, como ninguna pareja de gringos puede estar junta, los gringos tienen 8 posiciones en las cuales formarse, es decir:
_ M1 _ M2 _ M3 _ M4 _ M5 _ M6 _ M7 _
Así los gringos pueden formarse de P(8, 5) = 6,720 maneras. Por la regla del producto tenemos que 5,040 · 6720 = 33'868,800 maneras diferentes de formarlos.
c) Se quieren colocar 3 pelotas de color rojo, azul y blanco en cajas numeradas con 1, 2, ... , 10. DEseamos conocer el número de maneras distintas en que las pelotas pueden ser colocadas en cajas, si cada caja es capaz de contener sólo una pelota.
Coloquemos las pelotas una a la vez, iniciando con la pelota roja, luego la azul y después la blanca. Puesto que la pelota roja puede colocarse en cualquiera de las 10 cajas, la azul en cualquiera de las 9 restantes y la blanca en cualquiera de las 8 restantes, el número total de maneras distintas de colocar estas pelotas es 10 · 9 · 8 = 720.
d) ¿De cuantas maneras pueden ser programados tres exámenes dentro de un periodo de 5 días, de modo que el mismo día no sean programados 2 exámenes?
Si consideramos que P(n, r) =(n)(n -1)(n - 2)...(n - r +1) = P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60 maneras distintas de programas los exámenes.
e) ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contienen la subcadena DEF?
Para garantizar la presencia del patrón DEF en la subcadena, estas 3 letras deben estar juntas y en ese orden. Las letras A, B y C pueden colocarse de manera arbitraria. Así es como tener 4 elementos diferentes, por lo que la respuesta es P(4, 4) = 4!.
f) ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contiene las letras DEF juntas, pero en cualquier orden?
Se puede resolver este problema en dos pasos. Primero se elige un ordenamiento para las letras DEF, es decir, se pueden tener P(3, 3) = 3! = 6 formas distintas de ordenar dischas letras, el segundo paso puede realizarse de de P(4, 4) = 4! = 24, ya que se considera cualquiera de las ordenaciones del primer paso como un elemento, más A, B y C. Y por la regla del producto la respuesta es 6 · 24 = 144, permutaciones de dichas letras.
g) Supomgamos que una caja puede contener tantas peloltas como se quiera. Se quieren colocar 3 pelotas de colores diferentes en 10 cajas con numeracón distinta. La primer pelota puede colocarse en cualquiera de las 10 cajas, como puede hacerse con la segunda y tercera pelotas, por lo que el número total de colocaciones diferentes es 10 · 10 · 10 = 1,000 maneras diferentes de acomodar las pelotas.
En genral, hay nr maneras de colocar r pelotas de colores dentro de n cajas numeradas, si una caja puede contener tantas pelotas como queramos.