Question

El cuadrilátero de la figura adjunta es un rectángulo, en el que haciendo variar el valor de x de 0 a 4, el área de la región achurada también varía. El valor máximo que esa área podrá tener es
A)30
B)24
C)20
D)18
E)16
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Answer 1

Respuesta: C)20

Explicación paso a paso:

Para solucionar el problema hay que representar el area de la region no achurada en funcion de x.

1) Formula del area del triangulo = $\frac{Base*Altura}{2}$

2) Area del triangulo no achurado superior = $\frac{(8-2x)(4-x)}{2}$

3) Area del triangulo no achurado inferior = $\frac{8x}{2}$

4) Area total de la region no achurada = $\frac{(8-2x)(4-x)}{2}$ + $\frac{8x}{2}$

= $\frac{32-8x-8x+2x^{2} }{2} + 4x$

= $16-8x-8x+x^{2} +4x$

= $x^{2} -4x+16$

5) Ahora que podemos representar el area de la region no achurada en funcion de x, hay que encontrar el valor minimo que puede tomar esta expresion, ya que mientras menor sea el area de la region no achurada mayor sera el area de la region achurada.

6) Vertice de la funcion: x = $\frac{-b}{2a}$ = $\frac{-(-4)}{2}$ = $\frac{4}{2}$ -----> x=2, cuando x sea igual a 2, la funcion tomara su menor valor posible.

7) Introducimos x=2 en la funcion $x^{2} -4x+16$

8) $(2)^{2}-4(2)+16$ = $4-8+16$ = $12$

9) Si la region no achurada tiene un area de 12, la region achurada tiene un area de (Area Total - 12 = 32 - 12 = 20)

10) El valor maximo que puede tomar el area achurada es 20