Question

el cuadrado del lado de 30 cm se ha dividido en cinco regiones de igual área determinar el perímetro de la región sombreada​

Answer 1

El recinto sombreado tiene un perímetro de 88,8 centímetros.

Explicación paso a paso:

Si el cuadrado se divide en regiones de igual área, el área del rombo sombreado será:

$A_s=\frac{l^2}{5}=\frac{d.D}{2}$

Donde D y d son las diagonales del rombo y l es el lado del cuadrado. D es al mismo tiempo la diagonal del cuadrado. De modo que:

$D=\sqrt{l^2+l^2}=l\sqrt{2}$

La otra diagonal d se calcula como:

$\frac{l^2}{5}=\frac{d.l\sqrt{2}}{2}\\\\d=\frac{2l}{5\sqrt{2}}=\frac{l\sqrt{2}}{5}$

Si consideramos que el triángulo amarillo de la imagen adjunta es isósceles y rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal menor, podemos decir que los dos lados menores del rombo son:

$\frac{l\sqrt{2}}{5}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\\\\a=\frac{l}{5}$

Ahora para hallar los lados mayores b, vamos a tomar en cuenta que ahora conocemos los dos catetos de los triángulos rectángulos naranjas de la imagen adjunta.

$b=\sqrt{l^2+(l-\frac{l}{5})^2}=l\sqrt{1+(\frac{4}{5})^2}=l\sqrt{\frac{41}{25}}=l\frac{\sqrt{41}}{5}$

El perímetro del área sombreada ahora se pueda calcular como:

$p=2a+2b =2\frac{l}{5}+2l\frac{\sqrt{41}}{5}=\frac{2}{5}l(1+\sqrt{41})\\\\p=\frac{2}{5}.30cm(1+\sqrt{41})=88,8cm$