Question

El crecimiento de la población se estima que dentro de t meses de cierto pueblo aumentará a razón de dP/dt =3 + 7(t) elevado a la 2/5 personas por mes. Si la población actual es de 10.000, ¿Cuál será la población dentro de 6 meses?

Answer 1

Para poder determinar el crecimiento de la población tendremos que resolver la ecuación diferencial, integrando

                                      $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{dP}{dt} = 3 + 7t^{2/5}}\\\\\sf{dP= 3 + 7t^{2/5}\ dt}\\\\\sf{\displaystyle \boldsymbol{\int} dP= \displaystyle \boldsymbol{\int}(3 + 7t^{2/5})\ dt}\\\\\sf{P(t)=\displaystyle \int 3\ dt+\displaystyle 7\int t^{2/5}\ dt}\\\\\sf{P(t)=3t+ 7\left(\dfrac{ t^{2/5 + 1}}{2/5 + 1}\right)+ C}\\\\\sf{P(t)=3t+ 7\left(\dfrac{5t^{7/5}}{7}\right)+ C}\\\\\boxed{\blue{\sf{P(t)=3t+ 5t^{7/5}+ C}}}\end{array}$

Para determinar nuestra constante de integración reemplazaremos los valores de la condición que nos dan:

                                  $\begin{array}{c}\sf{Cuando\ t = 0 \quad \Rightarrow \quad P(t) = 10 000}\\\\\sf{P(t) = 3t+5t^{7/5}+C}\\\\\sf{10\ 000 = 3(0)+5(0)^{7/5}+C}\\\\\sf{10\ 000 = 0+0+C}\\\\\boldsymbol{\sf{C=10\ 000}}\end{array}$

Entonces nuestra función quedaría

                                        $\sf{\ \ P(t) = 3t+ 5t^{7/5}+C}\\\\\sf{P(t) = 3t+ 5t^{7/5}+10\ 000}$

Nos piden la población para dentro de 6 meses(t = 6), entonces

                                     $\begin{array}{c}\sf{P(t) = 3t+ 5t^{7/5}+10\ 000}\\\\\sf{P(t) = 3(6)+ 5(6)^{7/5}+10\ 000}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\red{\sf{P(t) \approx 10\ 079.43}}}}}\end{array}$

Rpta. En 6 meses la población será 10 076.43 habitantes

aproximadamente.

                                          $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$