El costo total de produccion de x unidades diarias de un producto es de (x2/2+70x+50) pesos y el precio de venta de una de ellas es de (100-x/2) pesos; encuentra
A) El número de unidades que se deben vender diariamente para que el beneficio sea máximo.
B) Demuestra que el costo de producción de una unidad tiene un mínimo.
C) Realiza una grafica
D) indica los máximos y mínimos.
E) Indica los puntos de inflexión
F) Traza la concavidad de la curva
Y utiliza cualquier criterio de derivación.
(Si me ayudan doy más puntos)
Respuestas a la pregunta
Respondemos las preguntas sobre optimización en la venta de x productos.
El costo total de producción de x unidades diarias es:
C(x) = x^2/2+70x+50
El precio de ventas de x unidades se obtiene multiplicando el precio de una por x:
V(x) = (100-x/2)*x = 100x - x^2/2
a) Número de unidades para obtener máximo beneficio.
El beneficio es lo que se obtiene al vender menos lo que cuesta producir:
B(x) = V(x) - C(x)
B(x) = (100x - x^2/2) - (x^2/2+70x+50)
B(x) = 30x - x^2 - 50
El valor de x que produzca el máximo beneficio se obtiene derivando e igualando a cero:
B' = 30-2x = 0
x = 15 (observa la figura 1)
b) Mínimo del costo por unidad.
El costo por unidad se obtiene dividiendo C(x) entre x:
C_u(x) = (x^2/2+70x+50)/x
C_u(x) =x/2 + 70 + 50/x
El punto mínimo se obtiene derivando e igualando a cero:
C'_u = 1/2 -50/x^2 = 0
x = ±√(100) = 10
Para demostrar que es un mínimo se debe derivar por segunda vez y evaluar en x= 10, si el signo del resultado es positivo es un mínimo, si es negativo es máximo:
C'' = 100/x^3
C''(10) = 0.1 >0 es un mínimo
C''(-10) = -0.1 < 0 no existe la venta de -10 productos, por lo que se descarta.
c) La gráfica se obtiene evaluando C_u para distintos valores de x, figura 2.
d) El punto mínimo obtenido en la parte b) es la venta de 10 productos, el costo por unidad es:
C_u(10) = 10/2 + 70 + 50/10 = 80 pesos
La función no tiene un máximo local.
e) El punto de inflexión se obtiene evaluando la segunda derivada en el punto crítico x=10
C''(10) = 0.1, como es distinto de cero no es un punto de inflexión por lo tanto se concluye que no hay.
f) La concavidad de la curva (concava hacia arriba) se obtiene en el punto (10, 80). Se observa bien en la figura 2.
