El costo marginal de un producto esta dado por la siguiente función: costo marginal = 20 + 0.6 raiz de x establezca la función de costo si los costos fijos de la empresa son de 2500
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
E1 Regla de la cadena
1.1 Utilizar la Regla de la cadena para calcular la derivada de las
siguientes funciones.
1. f (x) = p
x
2 + 1
2. f (x) = p
5x
3 + 2x
2 8x + 2
3. f (x) = 3
q
(4x
5 2x
2
)
2
4. f (x) = x
2 + 5x 4
p
x
2 + 1
5. g (s) =
2s + 5
s
2 + 1 4
6. f (x) = (x
2 4)5
(3x + 5)4
7. f (x) = 3
q
(x 2)2
(x + 2)
8. g (m) = 10m2
p
m2 + 19
9. f (x) = 6 (5x
2 + 2) p
x
4 + 5
10. f (x) = 3
r
8x
2 3
x
2 + 2
1.2 Producto del ingreso marginal.
DeÖniciÛn 1 (Texto guia pagina 519-520) "Ahora se utilizar· lo aprendido en el c·lculo
para desarrollar un concepto de importancia en el estudio de la economÌa. Suponga que un
fabricante emplea m personas para producir un total de q unidades de un producto por dÌa.
Se puede pensar que q es una funciÛn de m. Si r es el ingreso total que el fabricante recibe
al vender esas unidades, entonces r tambien puede considerarse una funciÛn de m. AsÌ, se
puede ver a dr
dm como la razÛn de cambio del ingreso con respecto al n˙mero de empleados.
La derivada dr
dm se llama producto del ingreso marginal. Es aproximadamente igual al
cambio en el ingreso que resulta cuando el fabricante emplea un trabajador adiciona
1. Un fabricante determina que m empleados producir·n un toral de q unidades de un
producto por dÌa, donde
q =
10m2
p
m2 + 19
Si la ecuaciÛn de demanda para el para el producto es p =
900
q + 9
, determine el producto
del ingreso marginal cuando m = 9
2. Un empresario que emplea m trabajadores encuentra que producen
q = 2m (2m + 1)
3
2
unidades de producto diariamente. El ingreso total r (en dolares) esta dado por
r =
50q
p
1000 + 3q
(a) øCu·l es el precio por unidad (al centavo mas cercano) cuando hay 12 trabajadores.?
(b) Determine el ingreso marginal cuando hay 12 trabajadores.
(c) Determine el producto del ingreso marginal cuando m = 12:
3. En cada uno de los siguientes casos, q es el n˙mero total de unidades producidas por
dÌa por m empleados de un fabricantes, y p es el precio de venta por unidad. En cada
caso encuentre el producto del ingreso marginal para el valor dado m:
(a) q = 5m; p = 0:4q + 50; m = 6
(b) q =
200m m2
20
; p = 0:1q + 70; m = 40
(c) q =
10m2
p
m2 + 9
; p =
525
q + 3
; m = 4
(d) q =
100m
p
m2 + 19
; p =
4500
q + 10
; m = 9
2 Derivadas de las funciones logarÌtmicas y exponenciales.
2.1 Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1. f (x) = ln (5x 6)
2. f (x) = ln
x
2 + 2x + 8
x
4 + 2x
2 + 1
3. f (x) = ln
4
r
1 + x
2
1 x
2
!
4. f (x) = ln h
(x
2 + 2)2
(x
3 + x 1)i
5. f (x) = (x
2 + 1) ln (2x + 1)
6. f (x) = ln
x
3
p4
2x + 1
7. f (x) = e
x
2+x
8. f (x) = x
2
e
x
9. f (x) = e
x + e
x
3
10. f (x) = e
x
2
ln x
11. f (x) = ln
e
x + e
x
e
x e
x
12. f (x) = ln
x
3
e
x
p
3x
2 + 9
2.2 Aplicaciones
1. Encuentre la funciÛn de ingreso marginal si la funcion de demanda es p =
25
ln (q + 2)
2. La funciÛn de costo total est· dada dada por c = 25 ln (q + 1) + 12: Encuentre el costo
marginal cuando q = 6
3. La funciÛn en dÛlares del costo promedio de un fabricante, est· dado por
c =
500
ln (q + 20)
Encuentre el costo marginal cuando q = 50:
4. La oferta de q unidades de un producto al precio de p dÛlares por unidad est· dado
por q (p) = 25 + 10 ln (2p + 1). Encuentre la tasa de cambio de la oferta con respecto
al precio.
5. En cada uno de los siguientes casos c es el costo promedio de producir q unidades de
un producto. Encuentre la funciÛn costo marginal y el costo marginal para los valores
dados de q. Interprete su respuesta.
(a) c =
7000e
q=700
q
; q = 350; q = 700
(b) c =
850
q
+
4000e
(2q+6)=800
q
; q = 97; q
6. El ahorro S de un paÌs (En miles de millones de dÛlares) est· relacionado con e ingreso
nacional I (En miles de millones de dÛlares ) mediante la ecuaciÛn
S = ln
5
3 + e
I
(a) Encuentre la propensiÛn marginal al consumo como una funciÛn del ingreso.
(b) Al millon m·s cercano, øcu·l es el lingreso nacional cuando la propensiÛn marginal
al ahorro es de 1
8
?
3 Elasticidad de la demanda.
DeÖniciÛn 2 Si p = f (q) es una funciÛn de demanda diferenciable, la elasticidad puntual
de la demanda, denotada por la letra griega (eta), en (q; p) est· dada por
=
p
q
dp
dq
=
p
q
dq
dp
1. En cada uno de los siguientes casos encuentre la elasticidad puntual de la ecuacion de
demanda para los valores indicados de p o q y determine si la demanda es el·stica,
inel·stica o si tiene elasticidad unitaria.
(a) p = 40 2q; q = 5
(b) p =
500
q+2 ; q = 104
(c) p = 150 e
q=100; q = 100
(d) q =
p
500 p; p = 400
(e) q =
p
2500 p
2
; p = 20
(f) q =
1
2
(p 100)2
; p = 20
(g) q = p
2 50p + 850; p = 20
2. Para la ecuaciÛn de demanda lineal p = 130:05q, veriÖque que la demanda es el·stica
cuando p = 10; inel·stica cuando p = 3, y tiene elasticidad unitaria cuando p = 6; 5:
3. øPara que valor o valores de q las siguientes ecuaciones de demanda tienen elasticidad
unitaria?
(a) p = 36 0:25q
(b) p = 300 q
2