El costo de fabricar un artículo está determinado por la fórmula 4x + 100; donde "x" es la cantidad de artículos, sin embargo, el precio de venta se determina por la fórmula 6x - 60. Determinar cuántos artículos deben venderse como mínimo para obtener ganancias. por favor
Respuestas a la pregunta
Respuesta:El punto de equilibrio se logra cuando los costos y los ingresos son iguales:
Funcion costo: C(x) = 30x + 1200
La funcion de ingresos no te la dan directamente, tienes que analizar en el enunciado, si lo vez te dicen que cada unidad x se vende en 40 osea que si vendes x unidades la venta es de 40x, en pocas palabras la funcion de Ingresos o Beneficios es:
G(x) = 40x
Entonces hay que igualar las funciones por que como dije los beneficios y las perdidas deben ser iguales para que exista un equilibrio
G(x) = C(x)
40x = 30x + 1200
40x - 30x = 1200
10x = 1200
x = 1200/10
x = 120
Se deben vender y producir entonces 120 unidades para alcanzar el punto de equilibrio
Pudes verificarlo con las 2 funciones
si x = 120
40x = 30x + 1200
40(120) = 30(120) + 1200
4800 = 4800
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La cantidad de artículos que se deben vender para obtener ganancias es:
13
¿Qué es la utilidad?
La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.
U = I - C
Siendo;
- Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.
I = p × q
- Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.
C = Cf + Cv
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuántos artículos deben venderse como mínimo para obtener ganancias?
Siendo;
- C(x) = 4x + 100
- I(x) = (6x - 60)(x) = 6x² - 60x
Sustituir en U(x);
U(x) = 6x² - 60x - 4x - 100
U(x) = 6x² - 64x - 100
Aplicar primera derivada;
U'(x) = d/dx (6x² - 64x - 100)
U'(x) = 12x - 64
Aplicar segunda derivada:
U''(x) = d/dx (12x - 64)
U''(x) = 12 ⇒ Mínimo relativo
Evaluar x = 12;
U(12) = 6(12)² - 64(12) - 100
U(12) = -12
Evaluar x = 13;
U(13) = 6(13)² - 64(13) - 100
U(13) = $82
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