¿El conjunto {x | x^2 - x - 6 = 0} es un subconjunto de
los números naturales? Justifique.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La teoría de conjuntos fue desarrollada alrededor de 1890 por el matemático Georg Cantor (1845-1918). Él definía este concepto diciendo: “Se entiende por conjunto la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición y de nuestra mente”. Así pues, en la idea innata que se posee sobre conjunto se deben diferenciar dos cosas:
Por una parte, se entiende que un conjunto es un todo con entidad propia: Este libro o conjunto de hojas, el plano real o conjunto de puntos, etc. Y por otra, que el conjunto está formado por otras entidades que llamamos elementos: La hojas del libro, los puntos del plano, etc.
Un conjunto se puede describir de dos maneras por comprensión, cuando se enuncia la ley o proposición abierta -si se puede enunciar- que cumplen los elementos del conjunto; o por extensión, listando todos y cada uno de los elementos que posee. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos se encierran entre llaves, separándolos por coma cuando se da por extensión.
Ejemplo
A = { x : x es un dígito } está dado por comprensión.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} está denotado por extensión.
Si el conjunto tiene un número infinito de elementos, para describirlo por extensión se listan los cinco primeros elementos para observar la ley de formación y se escriben puntos suspensivos.
Ejemplo
B = { x : x es un número que se utiliza para contar} está dado por compresión.
B = {1, 2, 3, 4, 5...} está denotado por extensión.
La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto. El símbolo se utiliza para indicar que el elemento pertenece al conjunto y en el caso que no pertenezca.
Ejemplo
Sean A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5...}.
2 ∈ A, porque 2 es un dígito si lo examinamos por comprensión o porque está separado por coma entre el 1 y el 3 por extensión.
20 ∉ A, porque 20 no es un dígito o porque no lo vemos separado por coma en los 10 elementos que aparece en la descripción por extensión.
a ∉ B, porque a no es un número que se emplee para contar.
La relación de inclusión o subconjunto se da entre conjuntos. Los símbolos ⊂ ó ⊆ se emplean para indicar que un conjunto está contenido en otro y ⊄ se emplea para indicar que un conjunto no está contenido en otro.
Sean D y E conjuntos. D ⊆ E, se lee D es subconjunto de E, D está contenido en E o E contiene a D y significa que todo elemento de D es elemento de E. Si D ⊆ E significa que si X ∈ D entonces x ∈ E. En la Figura 35 se tiene la representación gráfica de D ⊆ E.