El conjunto solución de la inecuación 2/(3-x) < 1/(2x-1) es
A. ( - ∞,1/2 ) U ( 1,3 )
B. (-∞, 5/3)
C. (5/3, ∞)
D. ( 1/2 ,1) U ( 3, ∞ )
Respuestas a la pregunta
La respuesta correcta es la opción D. ( 1/2 ,1) ∪ ( 3, ∞ )
Determinamos el rango definido de la inecuación, sabiendo que los denominadores deben ser diferentes de cero.
3 - x ≠ 0 y 2x - 1 ≠ 0
-x ≠ -3 ; 2x ≠ 1
x ≠ 3 ; x ≠ 1/2
Movemos la expresión a la izquierda y cambiamos su signo (desigualamos a 0).
2/(3-x) -1/(2x-1) < 0
Desarrollamos la fracción para obtener el mínimo común denominador. (Multiplicamos arriba y abajo en una expresión por el denominador de la otra).
(2(2x-1))/((3-x)(2x-1)) - (1(3-x))/((2x-1)(3-x)) < 0
(2(2x-1))/((3-x)(2x-1)) - (3-x)/((3-x)(2x-1)) < 0
Escribimos todos los numeradores encima del denominador común
((2(2x-1)-(3-x)) / ((3-x)(2x-1)) < 0
Desarrollamos
((4x-2-(3-x)) / ((3-x)(2x-1)) < 0
((4x-2-3+x)) / ((3-x)(2x-1)) < 0
((5x-2-3)) / ((3-x)(2x-1)) < 0
((5x-5)) / ((3-x)(2x-1)) < 0
Hay dos modos en que el cociente a/b podría ser <0: si (a<0 ; b>0) o si (a>0 ; b<0)
(5x-5<0
(3-x)(2x-1)>0)
o
(5x-5>0
(3-x)(2x-1)<0)
Primero vamos a resolver (5x-5<0 ; (3-x)(2x-1)>0)
5x-5<0
5x<5
x<1
y
(3-x)(2x-1)>0
Existen dos maneras en las que ab>0, (a>0, b>0) o (a<0, b<0)
(3-x>0, 2x-1>0) o (3-x<0, 2x-1<0)
(-x>-3, 2x>1) o (-x<-3, 2x<1)
(x<3, x>1/2) o (x>3, x>1/2)
x ∈ (1/2,3) o x ∈ ∅
x ∈ (1/2,3)
Ahora vamos a resolver (5x-5>0 ; (3-x)(2x-1)<0)
5x-5>0
5x>5
x>1
y
(3-x)(2x-1)<0
Existen dos maneras en las que ab<0, (a<0, b>0) o (a>0, b<0)
(3-x<0, 2x-1>0) o (3-x>0, 2x-1<0)
(-x<-3, 2x>1) o (-x>-3, 2x<1)
(x>3, x>1/2) o (x<3, x<1/2)
x ∈ (3,∞) o x ∈ (-∞,1/2)
x ∈ (-∞,1/2) ∪ (3,∞)
Hallamos las intersecciones
(x<1 , x∈(1/2 , 3)) ; (x>1 , x∈(-∞,1/2) ∪ (3,∞))
x∈(1/2 , 1) ; x∈(3,∞)
Encontramos la unión
x∈(1/2 , 1) ∪ (3,∞), x≠3 , x≠1/2
Hallamos la intersección de la solución y el rango definido
x∈(1/2 , 1) ∪ (3,∞)