Question

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫f(x)dx=F(x)+C.
Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales:
7.
∫ 2x+3 / x+ 2 dx

Answer 1

Cuando el integrando es una cociente si la expresión del numerador es de igual grado que la expresión del denominador ,lo que debes hacer es realizar una división de polinomios.

2x+3 l  x+2
         ---------------
-2x-4   2
-------
      -1 

Entonces 
(2x+3)/(x+2) = 2 -(1/x+2)
∫ 2 -(1/x+2) dx
∫ 2  dx -∫(1/x+2) dx
2x+C  -ln(x+2) +C

2x+ln(x+2) + K 

Esa es la respuesta .

Answer 2

Si una función g(x) cumple con la condición:

g’(x)  =  f(x)

se dice que g(x) es una antiderivada de f(x).

f(x) puede tener más antiderivadas si existe una constante    C  ∈  R    que generaliza g(x) como el conjunto g(x)  +  C.

Al conjunto de antiderivadas se le denomina integral indefinida de la función f(x) y se denota por:

∫f(x)dx  =  g(x)  +  C

Desarrollo de la respuesta:  

Vamos a aplicar la definición anterior para hallar, aplicando las propiedades básicas, la siguiente integral:  

$\bold{\int {\frac{2x+3}{x+2}}\,dx}$

1.- Integral racional

El integrando es una fracción impropia de polinomios, por lo que resolvemos la división de polinomios:

$\frac{2x+3}{x+2}=2+\frac{-1}{x+2}$

2.- Separación en suma de integrales

Se reescribe la integral, separándola en los dos términos resultantes de la división:

$\int{\frac{2x+3}{x+2}}\,dx=\int{(2+\frac{-1}{x+2})}\,dx \quad \Rightarrow$

$\int{\frac{2x+3}{x+2}}\,dx=\int{2}\,dx -\int{(\frac{1}{x+2})}\,dx$

3.- Solución de las integrales

La primera integral es una integral inmediata:

$\int{2}\,dx =2x+C1$

La segunda integral se resuelve por un cambio de variable simple,

$u=x+2 \qquad \Rightarrow \qquad du=dx$

$\int{(\frac{1}{x+2})}\,dx=\int{(\frac{1}{u})}\,du=Ln(u) +C2=Ln(x+2)+C2$

4.- Resultado

Se sustituyen los resultados anteriores en la suma de integrales del paso 2 y se suman las constantes C1 y C2 en una sola constante llamada C

$\int{\frac{2x+3}{x+2}}\,dx=\int{2}\,dx -\int{(\frac{1}{x+2})}\,dx= \bold{2x-Ln(x+2)+C}$

En resumen, la constante  C  generaliza el resultado a una familia de funciones o conjunto de antiderivadas. Al conjunto de antiderivadas se le denomina Integral indefinida.

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Asignatura: Estadística y Cálculo

Nivel: Universitaria