Question

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫f(x)dx=F(x)+C.
Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales:

Answer 1

Resolver
$\int \frac{1}{1+sen(x)} \, dx$

Solución
$\int \frac{1}{1+sen(x)} \, dx$

Reescribir usando identidades trigonométricas e hiperbólicas.

$\int \frac{sec^{2}(x/2) }{(tan(x/2) +1)^{2} } \, dx$

Sustituir u = $tan(x/2) + 1$, dx = $\frac{2}{sec^{2}(x/2) }$

$2\int \frac{1}{u^{2} } \, du$

Resolviendo esta integral, aplicando la regla de la potencia:

$2\int u^{n} \, du = u^{n+1} / (n+1) = -2/u$

Ahora revertir la sustición de u= tan(x/2) + 1

$\int \frac{1}{1+sen(x)} \, dx = - \frac{2}{tan(x/2)+1}$