Question

El concepto de límites es una de las bases del cálculo, ya que es una referencia para definir derivadas e integrales. Además de los conceptos intuitivos de límites, debemos conocer propiedades y varios teoremas, entre los que destacamos el enfrentamiento. En este sentido, resuelva la siguiente pregunta utilizando la idea de función limitada y también el teorema de la confrontación.

Sean que las funciones de reales en reales tengan las siguientes características para cada valor x:

$|sen\:x|\leq f(x)\leq 3|x|$

$0\leq g(x)\leq 1 + |sen\:x|$

I) ¿Podemos decir que la función f es inferiormente limitada? Justificar.

II) ¿Está la función g superiormente limitada? Justificar.

III) Determine el valor de:

$\lim_{x \to 0} \left(3f(x).g(x)+2\:cos\:x\right)$

Answer 1

a) Sí. Sabemos que |sen x| está acotado ya que  0≤|sen x|≤1.

Como |sen x| está acotado inferiormente por 0, entonces podemos escribir:

0≤ |sen x|≤ f(x)  → 0≤ f(x) y por tanto f está limitada inferiormente.

b) Sí. Como se planteó 0≤|sen x|≤1,  por lo que el máximo valor de 1+|sen x| será 2 y entonces g(x)≤2 por tanto g está limitada superiormente.

c) Tenemos que:

$\lim_{x \to0} (3f(x)\cdot g(x)+2\cos(x)) \\\\= \lim_{x \to0} (3f(x)\cdot g(x)) + \lim_{x \to0} (2\cos(x))$

Resolvamos los límites por separado:

$\lim_{x \to0} (3f(x)\cdot g(x))$

Sabemos que el teorema de la confrontación. afirma que, si dos funciones tienen el mismo límite, entonces las funciones que están comprendidas entre éstas también tienen el mismo límite. Se tiene:

$\lim_{ x\to 0} |sen\;x| = |sen\;0| =0\\\\ \lim_{ x\to 0} |3x| = |3(0)| =0$

Por tanto por el teorema de confrontación concluimos que: $\lim_{x \to0} f(x)=0$

Luego $\lim_{x \to0} (3f(x)\cdot g(x)) =0$ porque por propiedades de los límites el límite de una función acotada por una infinitesimal (f(x)) es cero.

Finalmente:

$\lim_{x \to0} (3f(x)\cdot g(x)+2\cos(x)) \\\\= \lim_{x \to0} (3f(x)\cdot g(x)) + \lim_{x \to0} (2\cos(x))\\\\= 0 +2cos(0) \\\\=2$