Question

El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?

Answer 1

Respuesta:

El máximo está en X=5

Explicación paso a paso:

Sabemos que la expresión con la cual modelamos la trayectoria del chorro es la siguiente:

x2 – 10x +20y -15 = 0

de tal modo que:

y = -x²/20+0.5x+0.75

Para saber cual es la altura maxima necesitamos utilizar el método de la segunda derivada, para ello, evaluamos el punto donde la primera derivada se hace cero:

Y' = -2/20x+0.5

Evaluando en y'=0

-2/20x+0.5=0

x = 5

Ahora calculamos la segunda derivada y evaluamos en x= 5, de modo que si la segunda derivada es negativa, estamos en presencia de un maximo, si es positiva entonces se trata de un mínimo:

Y'' = -2/20<0 ----> Como es menor que cero entonces podemos decir que el máximo es cuando x=5

Answer 2

Respuesta:

2

Explicación paso a paso:Sabemos que la ecuación de la parábola es:

(x - h)^2 = 4p(y - k)

Para dejar la ecuación presente como ecuación de la parábola debemos dejar a un lado las x y después del igual los demás términos, así:

x^2 - 10x + 20y - 15 = 0

x^2 - 10x = -20y + 15

Ahora debemos completar un trinomio cuadrado perfecto, para esto tomamos a 10 que acompaña a x de exponente 1 y lo dividimos en 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado así:

x^2 - 10x + 25 = -20y + 15 + 25

De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:

(x - 5)^2 = -20y + 40

Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:

(x - 5)^2 = -20(y - 2)

Como vemos la ecuación es igual a la de la parábola, con esto podemos hallar su vértice (h,k), entonces:

(x - h)^2 = 4p(y - k)

(x - 5)^2 = -20(y - 2)

-h = -5

h = 5

-k = -2

k = 2

Sabemos que el punto vértice es (5,2)

Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:

4p = -20

p = (-20) / 4

p = -5

Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.