El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?
Respuestas a la pregunta
Planteamiento:
La trayectoria de un chorro de agua que sale por una manguera viene dada por la siguiente ecuación:
x² – 10x +20y -15 = 0
y = (15-x²+10x)/20
Derivando:
y`= -x² +10x +15 /20
10-2x/20 =0
x-5/10= 0
X = 5
Sustituimos en la primera ecuación:
¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?
Y = -(5)²+10*5 +15 /20
Y = 2 metros
Respuesta:
2
Explicación paso a paso:
Este proceso se debe hacer con la ecuacion de la parabola.
muchas respuestas son copiadas de otras anteriores, yo me tome la molestia de hacerlo.
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Para dejar la ecuación presente como ecuación de la parábola debemos dejar a un lado las x y después del igual los demás términos, así:
x^2 - 10x + 20y - 15 = 0
x^2 - 10x = -20y + 15
Ahora debemos completar un trinomio cuadrado perfecto, para esto tomamos a 10 que acompaña a x de exponente 1 y lo dividimos en 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado así:
x^2 - 10x + 25 = -20y + 15 + 25
De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:
(x - 5)^2 = -20y + 40
Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
Como vemos la ecuación es igual a la de la parábola, con esto podemos hallar su vértice (h,k), entonces:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
-h = -5
h = 5
-k = -2
k = 2
Sabemos que el punto vértice es (5,2)
Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:
4p = -20
p = (-20) / 4
p = -5
Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.
