Question

el centro de una hiperbola es el punto c(4;5) y uno de sus focos es F (8;5) la excentricidad de la hiperbolaes 2 hallae su ecuacion y las longitudes de sus ejes​

Answer 1

La ecuación de una hipérbola cuyo centro es (4, 5), uno de sus focos (8,5) y su excentricidad es 2, es:

$\frac{(x - 4)^{2} }{4} -\frac{(y - 5)^{2} }{20} = 1$

La longitud de los ejes de la hipérbola son:

• Eje real: 4
• Eje imaginario: 2√20

¿Cómo se obtiene la ecuación de una hipérbola?

La hipérbola es una cónica que resulta de la intersección de un cono con un plano paralelo al eje de este.

Se caracteriza por tener los siguientes elementos:

• Centro: C(h, k)
• Focos: F₁ ∧ F₂ ( F₁F₂ = 2c)
• Vértices: V₁ ∧ V₂ (V₁V₂ = 2a)
• Lado recto: 2b²/a
• Distancia entre directrices: 2a²/c
• Excentricidad: e = c/a
• c² = a² + b²

Ecuaciones de la hipérbola:

Horizontal

$\frac{(x - h)^{2} }{a^{2}} -\frac{(y - k)^{2} }{b^{2}} = 1$

Siendo;

• V₁,₂(h±a, k)
• B₁,₂(h, k±b)
• F₁,₂(h±c, k)

Vertical

$\frac{(y-k)^{2} }{a^{2}} -\frac{(x-h)^{2} }{b^{2}} = 1$

Siendo;

• V₁,₂(h, k±a)
• B₁,₂(h±b, k)
• F₁,₂(h, k±c)

¿Cuál es ecuación y las longitudes de sus ejes​?

Siendo;

• C(4, 5) = (h, k)
• F(8, 5) = (h±c, k)
• e = 2 = c/a

Despejar c de F;

h + c = 8

h = 4

Sustituir h;

c = 8 - 4

c = 4

Sustituir c en e;

2 = 4/a

Despejar a;

a = 4/2

a = 2

Aplicar teorema de Pitágoras;

c² = a² + b²

Despejar b;

b = √(a² - c²)

Sustituir;

b = √(4 + 16)

b = √20

Sustituir en Ec.:

$\frac{(x - 4)^{2} }{2^{2}} -\frac{(y - 5)^{2} }{\sqrt{20} ^{2}} = 1\\\\\frac{(x - 4)^{2} }{4} -\frac{(y - 5)^{2} }{20} = 1$

La longitud de los ejes 2a y 2b:

• 2a = 4
• 2b = 2√20

Puedes ver más sobre la ecuación de una hipérbola aquí:

https://brainly.lat/tarea/63632175

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