Question

El cable ejerce una fuerza de P=6 KN en el extremo del brazo de la
groa que tiene om de longitud 30°, determine la ubicacion X
del gancho en B, de modo que esta fuerza cree un momento máximo
con respecto al punto O ¿Cuál es ese momento?

Answer 1

El máximo momento que puede actuar sobre el punto de apoyo de la grúa es de 48kN.m, dicho momento se obtiene cuando el brazo tiene un ángulo de 180° respecto del eje horizontal positivo.

Explicación:

El momento que la fuerza aplicada en A ejerce respecto del punto O es el producto vectorial entre esta fuerza y el vector OA, el cual es:

$\bar{\tau}=\bar{P}\times\bar{OA}$

Donde P es la fuerza y OA es el vector OA con origen en O, con lo cual forma con el eje positivo horizontal un ángulo de $180\°-\theta$. Por su parte la fuerza al ser perpendicular al plano y hacia abajo se dice que su ángulo es 270°. El ángulo que ambos vectores forman es $270\°-(180\°-\theta)=90+\theta$

$||\tau||=P.OA.sen(90\°+\theta)$

Conociendo P y el módulo OA, derivamos respecto del ángulo:

$\frac{d||\tau||}{d\theta}=P.OA.cos(90\°+\theta)$

De aquí concluimos que el momento es máximo cuando el ángulo de inclinación del brazo es de 0° ó de 180°, como el ángulo de inclinación del brazo tiene que estar en el segundo cuadrante tomamos $\theta=180\°$.

El momento máximo es entonces:

$P_{max}=P.OA=6000N.8m=48000Nm$