Question

El cable de suspension de un puente esta unido a pilares de soporte que distan 250 pies uno de otro, y cuelga en forma de una para bola con el punto mas bajo a 50 pies por debajo del punto de suspensión. Halle el angulo entre el cable y el pilar.

Answer 1

La parabola es de la forma:

Y = AX² +BX + C

Pilares en los puntos: (0,50) y (250,50)

Punto mas bajo: (125,0)

Puntos:(0,50); (125,0);(250,50)

Para (0,50)

50 = A(0)² + B(0) + C

50 = C

Para (125,0)

0 = A(125)² + B(125) + 50

0 = 15625A + 125B + 50

-50 = 15625A + 125B (Ecuacion 1)

Para (250,50)

50 = A(250)² + B(250) + 50

50 = 62500A + 250B + 50

0 = 62500A + 250B (Ecuacion 2)

-50 = 15625A + 125B (1)

0 = 62500A + 250B (2)

        (2):    0 = 62500A + 250B
+(1)x-2: 100= -31250A - 250B
-------------------------------------------
               100 = 31250A

A = 0.0032


0 = 62500A + 250B

250B = -62500A

B = -250A

B = -250(0.0032)

B = -0.8

Y = 0.0032X² - 0.8X + 50 (Ecuacion de la parabola)

Hallo la derivada de la ecuacion de la parabola

Y´= 0.0064X - 0.8

Para (250 , 50)

X = 250

Y´ = 0.0064(250) - 0.8

Y´ = 0.8

La pendiente de la recta es 0.8

Ahora hallo la ecuacion de la recta que pasa por (250 , 50) y con una pendiente  m = 0.8

Y - Y1 = m(X - X1)

Donde:  Y1 = 50;  X1 = 250;  m = 0.8

Y - 50 = (0.8)(X - 250)

Y - 50 = 0.8X - 200

Y = 0.8X - 150 [Ecuacion de la recta que pasa por el punto (250,50)]

Como sabemos la pendiente de la recta es el angulo que forma con la horizontal

tan(α) = m

$tan^{-1}(m) = \alpha$

$tan^{-1}(0.8) = 38.66$

α=38.66°

Pero como necesito hallar es el angulo que forma el cable con el pilar al que llamare β entonces:

β =180° - 90° - 38.66° = 51.34°

β = 51.34°

El angulo que forma es de 51.34°

Te anexo una grafica de la situacion