Question

El cable AC soporta una cubeta y su contenido que tienen una masa total de 300kg. Determine las fuerza desarrollada en los puntales AD y AE y la tensión en el cable AB en la pocision de equilibrio. la fuerza en cada puntal actúa a lo largo de su eje. ​

Answer 1

Para mantener en equilibrio al sistema, la tensión en la cuerda AB tiene una magnitud de 2013 N y la magnitud de la fuerza en cada uno de los puntales es de 202 N.

Planteo de la suma vectorial

Podemos considerar un espacio cartesiano con origen en el punto A. Entonces, la tensión AC sería equivalente al vector (0,0,-mg). Entonces el vector para la soga AB es:

$\vec{AB}=(3;0;7,25-6)=(3;0;1,25)$

Y los vectores para los puntales serían:

$\vec{AD}=(3;2;6)\\\vec{AE}=(3;-2,6)$

Dividiendo por el módulo podemos obtener los correspondientes versores:

$\bar{AB}=\frac{(3;0;1,25)}{\sqrt{3^2+1,25^2}}=(\frac{3}{3,25};0;\frac{1,25}{3,25})=(\frac{12}{13};0;\frac{5}{13})\\\\\bar{AD}=\frac{(3;2;6)}{\sqrt{3^2+4^2+6^2}}=(\frac{3}{\sqrt{61}};\frac{2}{\sqrt{61}};\frac{6}{\sqrt{61}})\\\\\bar{AE}=\frac{(3;-2;6)}{\sqrt{3^2+4^2+6^2}}=(\frac{3}{\sqrt{61}};-\frac{2}{\sqrt{61}};\frac{6}{\sqrt{61}})$

Condición de equilibrio

La suma de las 3 fuerzas tiene que anular al peso del balde, por lo que dicha sumatoria tiene que ser (0,0,mg). Entonces queda:

$F_1(\frac{12}{13};0;\frac{5}{13})+F_2(\frac{3}{\sqrt{61}};\frac{2}{\sqrt{61}};\frac{6}{\sqrt{61}})+F_3(\frac{3}{\sqrt{61}};-\frac{2}{\sqrt{61}};\frac{6}{\sqrt{61}})=(0;0;mg)$

Podemos plantear la suma de las componentes en 'y':

$\frac{2}{\sqrt{61}}F_2-\frac{2}{\sqrt{61}}F_3=0\\F_2=F_3$

Entonces el sistema de ecuaciones queda:

$\frac{12}{13}F_1+\frac{3}{\sqrt{61}}F_2+\frac{3}{\sqrt{61}}F_2=0\\\frac{5}{13}F_1+\frac{6}{\sqrt{61}}F_2+\frac{6}{\sqrt{61}}F_2=mg\\\\\frac{12}{13}F_1+\frac{6}{\sqrt{61}}F_2=0\\\frac{5}{13}F_1+\frac{12}{\sqrt{61}}F_2=mg$

Se puede multiplicar la primera ecuación por 2 y restar miembro a miembro para hallar F1:

$\frac{24}{13}F_1+\frac{12}{\sqrt{61}}F_2=0\\\frac{5}{13}F_1+\frac{12}{\sqrt{61}}F_2=mg\\---------\\(\frac{24}{13}-\frac{5}{13})F_1=-mg\\(\frac{19}{13})F_1=-mg\\\\F_1=-mg\frac{13}{19}=-300kg.9,81\frac{m}{s^2}\frac{13}{19}=-2013N$

Esta es la tensión en la cuerda AB, el signo negativo indica que su sentido es opuesto al que se supuso inicialmente, ahora la magnitud de la fuerza en los puntales es:

$\frac{60}{13}F_1+\frac{30}{\sqrt{61}}F_2=0\\\frac{60}{13}F_1+\frac{144}{\sqrt{61}}F_2=mg\\--------\\(\frac{30}{\sqrt{61}}-\frac{144}{\sqrt{61}})F_2=-mg\\\\F_2=-mg\frac{1}{\frac{30}{\sqrt{61}}-\frac{144}{\sqrt{61}}}=-300kg.9,81\frac{m}{s^2}\frac{1}{\frac{30}{\sqrt{61}}-\frac{144}{\sqrt{61}}}\\\\F_2=202N$