EL área total de un cono es 13π cm2. Si el radio de la base y la altura están en relación 1:2, hallar el radio y la altura
Respuestas a la pregunta
El radio es 2.0043 cm ≈ 2 cm y la altura es 4.0086 cm ≈ 4 cm
El área "A" de un cono de radio de la base "r" y generatriz "g" es:
A = π*r*g + πr²
Sea "r" y "l" la altura y radio del cono a encontrar, entonces el radio de la base y la altura están n relación 1:2,existe k tal que: r = k y l = 2k, por lo tanto:
l = 2r
Ahora conociendo el radio de la base de un cono "r" y su altura "l" tenemos que podemos encontrar la generatriz con la ecuación:
g² = l² + r²
Sustituyendo:
g² = (2r)² + r²
g² = 4r² + r²
g² = 5r²
g = √(5r²)
g = √5*r
Luego tenemos que el área es 13π cm², por lo tanto:
13π cm² = π*r*g + πr²
Sustituyendo el valor de la generatriz:
13π cm² = π*r*√5*r + πr²
13π cm² =√5* π*r² + πr²
Sacando factor común:
13π cm² =π*r²*(√5 + 1)
Simplificando:
13 cm² = r²*(√5 + 1)
r² = 13 cm²/(√5 + 1)
r² = (13 cm²/(√5 + 1))
r² = 4.0172 cm²
r = √(4.0172 cm²)
r = 2.0043 cm ≈ 2 cm
Teníamos que: l = 2r, por lo tanto:
l = 2*2.0043 cm = 4.0086 cm ≈ 4 cm
El radio es 2.0043 cm ≈ 2 cm y la altura es 4.0086 cm ≈ 4 cm
Respuesta:
Radio de la base = 2cm
Altura = 4cm
Explicación paso a paso:
Te dejo gráfica en la parte inferior para mayor comprensión del problema.
De la gráfica.
h = Altura del cono
g = generatriz
r = Radio
Datos.
Area total = 13πcm²
Radio de la base/Altura = 1/2
Radio = r
Alura = 2r
Formula.
Area tota = Area lateral + area de la base
Area total = π * r * g + π*r²
g = A la hipotenusa del triángulo ABC
Por Pitagoras hallamos g
g² = (2r²)² + r²
g² = 2²r² + r²
g² = 4r² + r²
g² = 5r²
g = √5r²
g = √5 *r
Area total = π* r * g + π *r²
13π = π* r * √5 * r + π * r²
13π = π *r² * √5 + π * r² Factorizamos π
13π = π (r² * √5 + r²) Simplificamos π
13 = √5 * r² + r² Sacamos factor común r²
13 = r² (√5 + 1) √5 = 2,236
13 = r² (2,236 + 1)
13 = r²(3,236)
13/(3.236) = r²
4 = r²
√4 = r
2 = r
El radio = 2cm
La altura = 2*r = 2 * 2cm = 4cm
