Question

el area de un triangulo rectangulo es de 216 pies2 y su hipotenusa es de 30 pies hallar los catetos

Answer 1

Hay que recurrir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las cuales serán justamente las medidas de los catetos.

Si colocas el triángulo de forma que uno de los catetos sea la base, el otro cateto, al ser perpendicular es la altura, por tanto ya tienes la fórmula del área del triángulo donde apoyarte para plantear la primera ecuación.

Llamando a los catetos, x, y
Tenemos que:  x·y / 2 = 216 ... despejando... y = 432/x

Y aplicando Pitágoras obtenemos la otra ecuación:
30² = x²+y² ---------> x²+y² = 900

Ahora se trata de resolver y aquí se impone el método de sustitución.
Sustituyo el valor de "y" de la primera en la segunda...

x² + (432/x)² = 900 ------> x² + 186624/x² = 900 ... nos saldrá una ecuación bicuadrada...

x⁴ + 186624 = 900x² -----> x⁴ -900x² + 186624 = 0

Hago las equivalencias:
x² = m ... y ... x⁴ = m² ... sustituyo...
m² -900m + 186624 = 0 ... resolviendo por fórmula general...
                       _______
              –b ± √ b² – 4ac
m₁, m₂ = ———————     
                     2a

m₁ = (900+252) / 2 = 576
m₂ = (900-252) / 2 = 324

Desdoblando estos valores...
576 = m = x² ... de donde x = √576 = 24 pies mide un cateto.
Sustituyendo en la 1ª ecuación: y = 432/24 = 18 pies mide el otro cateto.

Esto en cuanto a la primera de las raíces.
Si tomamos la segunda raíz:
324 = m = x² ... de donde x = √324 = 18 pies.

Si te das cuenta, con esta segunda raíz saldría el mismo resultado pero primero nos da el cateto menor y luego el mayor.

Saludos.

Answer 2

ya te respondieron pero..

18 pies