Question

el area de un triangulo es 10. dos de sus vertices son los puntos A(1,-2) y B(2,3), si C el tercer vertice esta sobre la recta 2x +y -2 =0. Hallar las coordenadas de C

Answer 1

    $\textbf{Proposici\'on: }\texttt{ Si un tri\'angulo est\'a formado por los vectores}\\\vec u\texttt{ y }\vec v\texttt{ entonces el \'area des este tri\'angulo es: }\\ \\ \\ \hspace*{4cm} A=\dfrac{1}{2}\left|\vec u\cdot \vec v^{\bot}\right|\\ \\ \\ \text{Sea }\vec u = C-A=(c_1-1,c_2+2)\text{ y }\vec v=C-B=(c_1-2,c_2-3)\text{ donde}\\2c_1+c_2=2\\ \\ \\ \text{entonces el \'area del tri\'angulo es:}\\ \\ A=\dfrac{1}{2}\left|(c_1-1,c_2+2)\cdot(-c_2+3,c_1-2)\right|$

    $(c_1-1)(-c_2+3)+(c_2+2)(c_1-2)=20\\ \\ -c_1c_2+3c_1+c_2+c_1c_2+2c_1-2c_2=20\\ \\ 5c_1-c_2=20\\ \\ \\ \text{Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones:}\\ \\ \begin{cases} 2c_1+c_2=2\\ 5c_1-c_2=20 \end{cases}\\ \\ \\ \boxed{(c_1,c_2)=\left(\dfrac{22}{7},-\dfrac{30}{7}\right)}$