Question

El área de un rectángulo es 42 m al cuadrado y la longitud del rectángulo es 5 m más que el doble del ancho. Hallar las dimensiones del rectángulo.

Answer 1

Respuesta:

Ancho: 7/2 metros.

Longitud: 12 metros.

Explicación paso a paso:

Se trata de resolver un sistema de ecuaciones.

Sabemos que la fórmula para calcular el área de un rectángulo es b·a (base multiplicada por altura). En este caso, llamaremos "x" a la base e "y" a la altura.

Primero, podemos establecer la igualdad 42=x·y. Esto se debe a que 42 es el valor del área del rectángulo, y ésta se calcula con la fórmula mencionada anteriormente, así que sabemos que x·y es igual al área que nos dan.

Con este paso ya tenemos una ecuación del sistema: 42=x·y.

Ahora, tenemos que encontrar la otra ecuación.

Nos dicen que la longitud del rectángulo es 5 metros mayor que el doble del ancho del rectángulo. Tomaremos "x" como longitud e "y" como ancho, aunque si quieres puedes hacerlo al revés.

La igualdad que podemos sacar con estos datos es 2y+5=x. La explicación de esto es la siguiente: con los datos que nos dan, sabemos que la longitud (y) es 5 veces mayor que el doble del ancho (x). El doble del ancho es 2·y, y si es 5 metros mayor, quedaría 2·y+5, lo cual es igual al la longitud, que es "y".

Así pues, ya tenemos dos igualdades:

1) 42=x·y

2) 2y+5=x

El siguiente paso es resolver el sistema de ecuaciones. Para ello, tenemos que aislar una de las incógnitas en las dos ecuaciones.

En este caso, aislaremos la "x". Esto significa que la dejaremos sola a un lado de la igualdad.

1) 42=x·y ---> 42/y=x (dividimos ambos lados por "y" o, dicho de otra forma, la "y" pasa al otro lado dividiendo)

2) 2y+5=x ---> Esta ecuación se queda igual, porque la "x" ya está aislada.

Ahora, como que los dos lados de la derecha de las ecuaciones equivalen a "x":

1) 42/y=x

2) 2y+5=x

Podemos establecer que:

42/y=2y+5

Esto se debe a que si ambas ecuaciones tienen un lado igual, podemos determinar que los otros lados forman una igualdad, ya que equivalen a lo mismo, que en este caso es "x".

Ahora, tenemos que resolver la ecuación con "y" que hemos sacado.

42/y=2y+5 ---> 42=(2y+5)·y (multiplicamos ambos lados por "y" o, dicho de otra forma, pasamos la "y" de la derecha al otro lado multiplicando).

42=(2y+5)·y ---> 42=2$y^{2}$+5y (resolvemos (2y+5)·y multiplicando 2y·y además de 5·y)

42=2$y^{2}$+5y ---> 0=2$y^{2}$+5y-42 (pasamos todos los términos a un lado, dejando el otro con el valor "0")

Ahora nos quedamos con una ecuación de segundo grado, cuya fórmula he adjuntado a esta respuesta en forma de imagen, así que:

a=2

b=5

c=-42

Sustituimos los datos en la fórmula, así que obtenemos dos valores:

y=7/2

y=-6 (Este valor no es válido, ya que el rectángulo no puede tener una longitud negativa, es imposible. Así que podemos descartarlo)

Ahora debemos sustituir este valor en la primera ecuación que teníamos (42=x·y):

42=x·y ---> 42=x·(7/2) ---> 42/(7/2)=x (pasamos 7/2 dividiendo) ---> 12=x

Así pues, ya tenemos todos los valores de las incógnitas.

y=7/2 (ancho)

x=12 (longitud)

Espero que hayas podido entenderlo y que te haya servido.