Question

El area de la region sombreada es 8 pi m2. Halla la longitud del radio OA

Answer 1

Tenemos la figura si la analizamos tenemos la mitad de un circulo, y 1/4 de circulo más grande.

Entonces comparten el mismo radio, pero el radio del más pequeño es la mitad del radio grande es decir
r (Radio grande)
r/2 (radio chico)

Saquemos el area del más grande

(π)r²

Ahora la del más chico

(π)r²/2

Ahora planteamos la ecuación para que nos de 8π

(π × r²)1/4+(π × r²/2)1/2=8π

Reemplacemos a r² por x, para hacerlo más simple

$((\pi )x)1/4+( (\pi )x/2)1/2=8 \pi \\ \\ \pi x/4 + \pi x/4=8 \pi \\ \\ \pi x/2=8 \pi \\ \\ \pi x=16 \pi \\ \\ Reemplazamos \ a \ x \ por \ r^{2} \\ \\ \pi r^{2} =16 \pi \\ \\ por \ lo \ tanto \ r^{2}=16 \\ \\ r= \sqrt{16} \\ \\ r=4 \\ \\ Rpta. OA=4m$