Question

El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por. LaTeX: P(x)\ =\ 5000\ +\ 1000x\ -\ 5x^2P ( x ) = 5000 + 1000 x − 5 x 2 donde LaTeX: xx es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad. Encuentre la cantidad, LaTeX: xx, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio. Encuentra el máximo beneficio

Answer 1

Si la empresa invierte 100000 dólares en publicidad obtendrá el beneficio máximo posible de 55000000 dólares.

Explicación:

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de t.  

$P'=(5000+1000x-5x^{2})'=1000-10x$  

$P'=0 \quad \Rightarrow \quad 1000-10x=0\quad \Rightarrow \quad x=100$  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$P''=(1000-10x)''=-10$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$P''_{(100)}=-10<0\qquad \Rightarrow \qquad$  

x = 100 es un máximo de la función P.  

Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de x y obtenemos el valor máximo de P.  

P₍₁₀₀₎ = 5000  +  1000(100)  -  5(100)²  =  55000  miles de dólares